Reichel Mathematik 8, Schulbuch

161 4.9 Konfidenzintervalle für Anteilsschätzungen 4 Konfidenzintervalle für Anteilsschätzungen 1. Den Begriff Konfidenzintervall verstehen Eine der Grundaufgaben der Statistik besteht darin, aus den Ver- hältnissen in einer Stichprobe ( Sample ) auf die Verhältnisse in der Grundgesamtheit ( Kollektiv ) zu schließen, wobei man eine re- präsentative Stichprobe voraussetzt (obwohl niemand Methoden kennt, die das auch wirklich garantieren können). Eine häufige Aufgabe besteht etwa darin, aus der relativen Häufig- keit des Auftretens eines Merkmals in der Stichprobe auf den rela- tiven Anteil (die Wahrscheinlichkeit) p dieses Merkmals in der Grundgesamtheit zu schließen. Gib Beispieøe – insbesondere in der Demoskopie  1 und in der statistischen Quaøitätskontroøøe – an! Um p zu schätzen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n und beobachtet die Anzahl x (abso- lute Häufigkeit) der Elemente, welche die betrachtete Eigenschaft besitzen. Der daraus durch Division durch n gewonnene Wert x/n (relative Häufigkeit) ist dann ein Schätzwert ​  ˆ p​ für das „wahre“ p . Obwohl dieser Wert der bestmögliche Schätzwert für p ist, wird man doch mehr oder weniger „daneben“ schätzen. Diese so genannte Punktschätzung von p durch den beobachteten Wert ​  ˆ  p​ wird daher vielfach zu einer Intervallschätzung für das unbekannte p ausgebaut. Darunter versteht man ein Verfahren, das ein zufälliges Intervall [p 1 ; p 2 ] um ​  ˆ  p​ liefert, weil es den wahren Wert p des gesuchten Parameters mit ei- ner vorgewählten (hohen) Wahrscheinlichkeit (Konfidenz-  2 oder Sicherheitsniveau) γ enthält. Wie schon beim Testen von Hypothesen kommt es auf die Verwendung an, das für ihre Zwecke geeigne- te Vertrauensniveau γ vorzugeben. Und auch die Ermittlung dieses Intervalls läuft analog zur Vorgangs- weise beim Testen von Hypothesen, nur eben umgekehrt: Hat man dort für ein festes p = p 0 zu vorge- wähltem γ nach der Menge aller möglichen Beobachtungswerte für die absoluten Häufigkeiten X bzw. die relativen Häufigkeiten X/n des Merkmals gefragt, die mit H: p = p 0 verträglich sind, so fragt man jetzt für einen beobachteten Wert x bzw. x/n = ​ˆ  p​ zu einem vorgewählten γ nach der Menge aller p * [0; 1] , die mit dem beobachteten Wert verträglich sind. In jedem der beiden Fälle geht es um die Be- stimmung von γ -Streubereichen, worauf wir in Kap. 4.3 und 4.5 bereits ausführlich eingegangen sind. Definition Aøø jene p mit 0 ª p ª 1, deren γ -Streubereiche den beobachteten Wert ​  ˆ  p​enthaøten (überdecken), biøden ein bestimmtes Intervaøø [p 1 ; p 2 ] . Man nennt es das zum Konfidenzniveau γ gehörige γ - Konfi­ denzintervaøø ( γ -Vertrauensintervaøø) für das un­ bekannte p. Bemerkung: Die Figur zeigt, dass die zu einem festen γ und verschiedenen p  *  [p 1 ; p 2 ] gehörigen γ -Streubereiche nicht gleich breit sind. Die Konsequenz daraus ist, dass ein Konfidenzintervall zwar un- gefähr , jedoch nicht exakt symmetrisch um ​ ˆ  p​ liegt. Begründe! Deswegen wäre es nicht ganz korrekt zu sagen, das Konfidenzintervall ist jenes um ​  ˆ  p​ symmetrische Intervall [​  ˆ  p​– ε ; ​ˆ  p​+ ε ] , das den gesuchten Parameter p mit Wahrscheinlichkeit γ enthält.  1 Demoskopie (aus dem Griechischen) … Wissenschaft zur Erhebung der „Volksmeinung“  2 confideo (lat.) … vertrauen 4.9 WS 4.1 A  599 p p γ -Streubereiche ^ p 1 p 2 Konfidenzintervall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv