Reichel Mathematik 8, Schulbuch

162 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 2. Das γ -Konfidenzintervall „exakt“ bestimmen Beispiel U Vor einer Wahø werden n = 500 Wahøberechtigte befragt; 120 davon sprachen sich für die Partei A aus. Wie vieø Prozent wird die Partei A daher bei der Wahø voraussichtøich erhaøten? Besser for- muøiert: Gib ein 95%-Vertrauensintervaøø an für den Anteiø der A-Wähøer/innen in der Menge aøøer Wahøberechtigten! Lösung: Die Anzahø X der A-Wähøer/innen in einer Stichprobe vom Umfang n ist binomiaøverteiøt mit dem unbekannten Parameter p. Wegen ˆ  p= x/n = 120/500 = 0,24 und n = 500 ist hier ˆ  σ X = 9 __________ 500 · 0,24 · (1 – 0,24)= 9,55. Da p von ˆ  paøøer Voraussicht nach nicht gravierend abweicht, ist ˆ  σ X ≈ σ X ; damit ist die Faustregeø σ X > 3 so deutøich erfüøøt, dass wir die Binomiaøverteiøung guten Gewissens durch die Normaøverteiøung ohne Stetigkeitskorrektur approximieren dürfen. Gemäß den γ -Streubereichsformeøn erhäøt man beim Rechnen mit absoøuten Häufigkeiten: Rechnen mit reøativen Häufigkeiten: P “  † X – μ† ª z · 9 ______ n · p · (1 – p)  § = γ P “  †    X _  n – p  † ª z · 9 ____   p · (1 – p) ______  n    § = γ Aus γ = 0,95 = 2 · Φ (z) – 1 w z = 1,96. Durch Einsetzen erhäøt man P “  † 120 – 500p † ª 1,96 · 9 _______ 500 · p · (1 – p)  § = 0,95 P “  † 0,24 – p † ª 1,96 · 9 ____   p · (1 – p) ______ 500    § = 0,95 und daraus die foøgenden quadratischen Ungøeichungen für p: (120 – 500p) 2 ª 1,96 2 · 500 · (p – p 2 ) (0,24 – p) 2 ª 1,96 2 ·   p – p  2 ____ 500  Weøche Ungøeichung man auch weiterrechnet, man erhäøt øetztøich: p 2 – 0,48396p + 0,05716 ª 0 Wir øösen zunächst die zugehörige Gøeichung und erhaøten p 1 = 0,2046 und p 2 = 0,2793. Aus der Auf- gabensteøøung oder durch Überøegen bzw. Berechnen (vgø. Buch 6. Kø. S. 112) foøgt, dass der gesuchte wahre Anteiø p der A-Wähøer/innen mit 95% Wahrscheinøichkeit vom Intervaøø [0,2046; 0,2793] über- deckt wird. Da wir die dem Probøem angemessene Binomiaøverteiøung durch eine Normaøverteiøung approximiert haben, täuscht das Ergebnis aøøerdings eine Genauigkeit vor, die nicht gegeben ist. Wir runden 1 daher zum Endergebnis: [20,4%; 28,0%] Verlangt man in Beispiel U eine 99% sichere Aussage, so wird das Konfidenzintervall breiter, dh. die Aussage unschärfer. Will man um- gekehrt eine schärfere Aussage, dh. ein schmäleres Konfidenzinter- vall für p , so wird γ kleiner und damit die Aussage unsicherer. Diesen Sachverhalt bezeichnen wir als das Orakelprinzip . Erøäutere ! 3. Das γ -Konfidenzintervall näherungsweise bestimmen Die „exakte“ Berechnung eines γ -Konfidenzintervalls von p ist (ohne Computer) mühsam, sodass man in der Praxis gerne die folgende Näherungslösung benützt: Das exakt berechnete Konfidenzintervall ˆ  p– z· 9 ____   p·(1 – p) ______ n    ª p ª ˆ  p+ z· 9 ____   p·(1 – p) ______ n  liegt annähernd (!) symmetrisch um ˆ  p , sodass es naheliegt, an seiner Stelle gleich ein zu   ˆ  p symmetrisches Intervall [ˆ  p – ε ; ˆ  p + ε ] zu ver wenden . Dabei setzen wir ε = z· 9 ______ ˆ  p·(1 – ˆ  p)/n . Dies tun wir in der Hoffnung, dass, wenn ˆ  p ein „guter“ Schätzwert von p ist, auch ˆ σ X/n = 9 ______ ˆ  p·(1 – ˆ  p)/n ein „guter“ Schätzwert für σ X/n = 9 ______ p·(1 – p)/n ist. 1 Wegen Vernachlässigung der Stetigkeitskorrektur ist das Intervall etwas zu groß . Dennoch runden wir sicherheitshalber nach „außen“; in diesem größeren Intervall ist γ sicher größer als die geforderten 95% . WS 4.1 S 142 A 601 WS 4.1 A 597 A 598 Fig. 4.22 p Näherung des Konfidenzintervalls p^ p– ε ^ p+ ε ^ F 4.22 A 587 160197-162 S 143 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv