Reichel Mathematik 8, Schulbuch

163 4.9 Konfidenzintervalle für Anteilsschätzungen 4 Beispiel U (Fortsetzung) Bestimme das Konfidenzintervaøø näherungsweise! Lösung: γ = 0,95 = 2 · Φ (z) – 1 w z = 1,96 ​ 9 ____ ​  ​  ˆ  p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​ ​= ​ 9 ______ ​  0,24 · (1 – 0,24) _________ 500  ​ ​= 0,0191 ​ ˆ  p​– z · ​ ˆ  σ​ X/n = 0,24 – 1,96 · 0,0191 = 0,2026 ​ ˆ  p​+ z · ​ ˆ  σ​ X/n = 0,24 + 1,96 · 0,0191 = 0,2774 w [20,2%; 27,8%] Ein Vergleich der Ergebnisse in Beispiel U und seiner Fortsetzung lehrt, dass die Näherung recht gut ist – was aber nicht immer der Fall sein muss! Erøäutere an Fig. 4.23, warum! Du siehst: Liegt p „nahe“ bei 1 oder 0 , so bewirkt eine kleine Ände- rung von p eine gewaltige Änderung bei ​ 9 _____ p·(1 – p)​ , sodass ​ 9 _____ ​ ˆ  p​·(1 – ​ˆ  p​)​ kein guter Schätzwert für ​ 9 _____ p·(1 – p)​ ist. Liegt hingegen p „nahe“ um 0,5 – Faustregeø: 0,3 < p < 0,7 –, so bewirkt eine Änderung von p kaum eine Veränderung des Wertes von ​ 9 _____ p·(1 – p)​ , sodass ​ 9 _____ ​ ˆ  p​·(1 – ​ˆ  p​)​ ein guter Schätzwert für ​ 9 _____ p·(1 – p)​ ist. Somit gilt die Satz Näherungsformeø für das γ -Konfidenzintervaøø von p (für 0,3 < p < 0,7):  ​ ˆ  p​– z · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​ª p ª ​ ˆ  p​+ z · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​ mit γ = 2 · Φ (z) – 1 Insbesondere erhält man – Begründe ! Satz Näherungsformeø für das 95%- bzw. 99,7%-Konfidenzintervaøø von p (für 0,3 < p < 0,7):  ​ ˆ  p​– 2 · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ  p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​ª p ª ​ ˆ  p​+ 2 · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​  ​ ˆ  p​– 3 · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​ª p ª ​ ˆ  p​+ 3 · ​ 9 ____ ​  ​  ˆ p​ · (1 – ​ ˆ p​) ______ n  ​​ Beispiel V Franz øiest in der Zeitung, dass aufgrund einer Umfrage unter 800 Wahøberechtigten der Stimmen­ anteiø von Partei A derzeit auf 43,5% geschätzt wird. Er schøießt daraus gemäß der Genauigkeits­ konvention (vgø. Buch 5. Kø. S. 42), dass der wahre Anteiø zwischen 43,4 und 43,6 Prozent øiegt. Hat er Recht? Gib 1 ein 95%-Vertrauensintervaøø für den wahren Anteiø p, 2 das Konfidenzniveau für das von Franz verwendete Schätzintervaøø an! Lösung:  Wegen 0,3 < 0,435 < 0,7 können wir mit der Näherungsformeø rechnen: σ X/n ≈ ​ ˆ  σ​ X/n = ​ 9 ____ ​  ​  ˆ  p​ · (1 – ​ ˆ  p​) ______ n  ​ ​= ​ 9 _______ ​  0,435 · (1 – 0,435) __________ 800  ​ ​= 0,0175 1 γ = 0,95 = 2 · Φ (z) – 1 w z = 1,96 ≈ 2 95%-Konfidenzintervaøø für p: [0,435 – 2 · 0,0175; 0,435 + 2 · 0,0175] = [0,400; 0,470] 2 ε = z · σ w 0,1% = 0,001 = z · 0,0175 w z = 0,057 P ​ “  ​ †  ​  X _  n ​– 0,435  † ​ª 0,001  § ​= 2 · Φ (0,057) – 1 = 2 · 0,5227 – 1 = 0,045. Grob gesagt: nur in rund 5% aøøer Fäøøe wird p von dem von Franz berechneten Intervaøø überdeckt. Was kann man tun, um Missverständnisse wie dieses zu vermeiden? Üblicherweise gibt man jeden Schätzwert samt dem 1 σ -Fehler an. Im Beispiel V hätte man also schrei- ben sollen: Der Anteil liegt bei (43,5 ± 1,75)% . Oder man hätte das zugrunde gelegte Signifikanzniveau angeben sollen. In den Medien wird diesem Anspruch (leider sehr) häufig nicht entsprochen, sondern nur der Schätz- wert allein (ohne die Bandbreite des wahrscheinlichen Schätzfehlers σ ) angegeben. Fig. 4.23 p 0,5 0 0,3 0,7 1 p . (1 –p) S  154 160197-163 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv