Reichel Mathematik 8, Schulbuch

164 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 4. Den notwendigen Stichprobenumfang ermitteln Beispiel W Die Partei A hatte bei der øetzten Wahø 43,5% der Wähøer auf sich vereinigt und würde dies ‒ wenn man die Stimmung richtig einschätzt ‒ voraussichtøich auch heute tun. Zur „Sicherheit“ wiøø der Parteivorstand auf 95%-Sicherheitsniveau den derzeitigen Wähøeranteiø auf ±1,5% genau schätzen øassen. Wie vieøe Personen müssen befragt werden? Lösung: Der bisherige Anteiø kann (da man mit keinen gravierenden Änderungen rechnet) aøs Schätzwert ˆ  pfür den heutigen Anteiø p dienen: ˆ  p= 0,435; die Faustregeø 0,3 < p < 0,7 ist daher mit ziemøicher Sicherheit erfüøøt, sodass wir mit der Näherungsformeø rechnen dürfen. Die maxi- maøe Abweichung ε = 1,5% = 0,015 ist durch z · 9 ______   ˆ  p · (1 – ˆ  p)/ngegeben, wobei z = 1,96 (berechnet aus 2 · Φ (z) – 1 = 0,95) ist. Man erhäøt somit die foøgende Gøeichung für n: ε = z · 9 ____     ˆ  p · (1 – ˆ p) ______ n    w n =   z  2 · ˆ  p · (1 – ˆ  p) _______  ε   2 , aøso n =   1,96  2 · 0,435 · (1 – 0,435) _____________ 0,015  2 = 4196,3 Man muss rund 4200 Personen befragen. Will man den notwendigen Stichprobenumfang für ein Konfidenzintervall für ein p bestimmen, das nicht einmal ungefähr abgeschätzt werden kann oder genügt der Schätzwert ˆ  p (und damit p ) nicht der Faustregel 0,3 < p < 0,7 , so kann man die Näherungsformel für das Konfidenzintervall nicht anwenden. Der notwendige Stichprobenumfang n müsste bei vorgegebenen ε und z (berechnet aus γ ) aus der Glei- chung ε = z· 9 ____   p·(1 – p) ______ n   = z·  9 _____ p·(1 – p) ______ 9 _  n  berechnet werden, was aber nicht möglich ist, weil neben n eben auch p unbekannt ist. In diesem Fall kann man n nur „pessimistisch“ abschätzen, dh. jenen Wert n ermitteln, der „auf jeden Fall“ genügt. Aus Fig. 4.23 liest man ab, dass 9 _____ p·(1 – p) ª 1/2 ist, unabhängig davon, wie groß p ist. Im ungünstigsten Fall ist also 9 _____ p·(1 – p)= 1/2 . Begründe ! Im üblichen Fall eines 95% -Konfidenzintervalls erhält man z = 1,96 ≈ 2 und somit ε = 2·  1/2 __ 9 _  n  = 9 __   1 _ n ,also n =   1 __  ε   2 . Satz Pessimisten-Faustregeø für signifikante Aussagen, wenn für p kein Schätzwert vorøiegt: Das 95%-Konfidenzintervaøø hat dann höchstens den Radius ε = 9 _   1 _ n  . Der notwendige Stichprobenumfang ist daher höchstens n =   1 __  ε   2 . Beispiel W (Fortsetzung) Schätze n mitteøs der Pessimisten-Faustregeø ab! Lösung: n =   1 __  ε   2 , aøso n =   1 ____  0,015  2 = 4444 Da der pessimistisch abgeschätzte Stichprobenumfang deutlich größer als der tatsächlich notwendige Stichprobenumfang sein kann, versucht man zwecks Kostenminderung in der Praxis pessimistische Ab- schätzungen wie folgt zu vermeiden: Man ermittelt in einer Voruntersuchung aus einer kleinen (billige- ren) Stichprobe (zB vom Umfang 100 ) einen ersten groben Schätzwert ˆ  p von p , und berechnet dann in einem zweiten Schritt den notwendigen Stichprobenumfang. Damit schließt sich wiederum der Kreis zu den Hypothesenprüfungen. Auch dort haben wir (aufgrund einer Voruntersuchung oder aus Erfahrung) zuerst eine Hypothese für p aufgestellt, und erst in einem zweiten Schritt den Test durchgeführt. WS 4.1 A 594 160197-164 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv