Reichel Mathematik 8, Schulbuch

17 1.1 Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen 1 160197-017 Die Differenzengleichung x n + 1 = øn † x n † kannst du – wie alle früheren Beispiele – lösen, indem du x 1 , x 2 , … schrittweise berechnest. Die Folge k x n l heißt die Bahn des Systems (der Gleichung). Für viele Anwendun- gen der Praxis ist nun die folgende Frage wichtig: Wie wirken sich kleine Abweichungen (zB Rundungs- fehler) beim Startwert x 0 auf den weiteren Verlauf der Bahn aus? Fig. 1.19 zeigt die Bahnen (bis x 50 ) der Differenzengleichung für 1. x 0 = 2,300 (schwarz) und 2. x 0 = 2,303 (blau). Obwohl die Differenz am An- fang nur 0,003 beträgt, verlaufen die Bahnen schon nach wenigen Schritten offenbar völlig unabhängig voneinander und weisen große Differenzen auf! Ein solches Verhalten nennt man in der Mathematik „chaotisch“. Wenn – im Gegensatz dazu – die Bahnen „langfristig“ knapp nebeneinander und quasi „parallel“ verlaufen, spricht man von einem stabilen System. Solche Systeme sind also praktisch unemp- findlich gegen kleine Abweichungen und Fehler, wie sie sich zB durch Rundungen unausbleiblich im Laufe einer längeren Rechnung einstellen. Bei chaotischen Systemen (bzw. Lösungsbahnen) können sich hingegen selbst kleinste Abweichungen „verheerend“ auf den weiteren Verlauf der Lösungen, also des durch sie beschriebenen Prozesses auswirken. Fig. 1.19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 0 x y = x y y = lnx y = ln(-x) x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 56  a Berechne x 1 , x 2 , …, x 23 und schreibe die Werte für die verschiedenen Startwerte nebeneinander! Dann schreibe jeweiøs die Differenz (auf Hundertsteø gerundet) dazu und biøde das Maximum dieser Diffe- renzen! Vergøeiche mit der Differenz der Anfangswerte! 1 x n + 1 = øg † x n † ; x 0 = 2,4 bzw. x 0 = 2,404 2 x n + 1 = øn † x n † ; x 0 = 1,5 bzw. x 0 = 1,6 3 Eine der beiden Situationen 1 bzw. 2 ist stabiø, die andere (øeicht) chaotisch. Weøche? b Löse a (nunmehr bis x 50 ) mitteøs Computer und steøøe die Lösungen mit dem Computer (anaøog zu Fig. 1.19) graphisch dar! 57  Berechne x 1 , x 2 , … x 50 ! Gibt es einen Fixpunkt? Betrachte dazu ein Spinnwebdiagramm! 1 x n + 1 = sin (x n ); x 0 = 1 2 x n + 1 = sin (x n ); x 0 = 2 Beachte, dass x im Bogenmaß gemessen wird! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv