Reichel Mathematik 8, Schulbuch

18 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 Komplexere Prozesse – Systeme von Differenzengleichungen 1. Verstehen, warum Prozesse oft durch ein System von Differenzengleichungen beschrieben werden müssen Bisher haben wir uns im Wesentlichen mit Systemen und Prozessen beschäftigt, die durch eine Variable mathematisch beschrieben werden können. Vielfach wirken aber in einem Prozess (bzw. System) zwei oder mehrere Größen mit- oder gegeneinander. Wieder können wir versuchen, derartige Prozesse – nun aber durch zwei oder mehrere Variable – mathematisch zu beschreiben, damit einerseits gewisse Vorhersagen zB über das Langzeitverhalten gemacht werden können, aber andererseits auch deswegen, weil uns eine derartige (modellhafte) Beschreibung helfen kann, die Vorgänge selbst besser zu verste- hen. Beispiel D Spiritus (0,7 ø in einem Gefäß A) soøø verdünnt werden. Hiefür steht ein Gefäß B mit 0,7 ø destiøøiertem Wasser zur Verfügung. Der Vorgang øäuft wie foøgt ab: 1. Schritt: 40% von A werden in ein øeeres Gefäß I gegossen, und 30% von B in ein anderes øeeres Gefäß II. 2. Schritt: Der Spiritus im Gefäß I wird in das Wasser (Gefäß B) gegossen; das destiøøierte Wasser aus Gefäß II in das Gefäß A. Nun ist einerseits im Gefäß A ein Spiritus-Wasser-Gemisch, an- dererseits befindet sich nun auch im Gefäß B eine gewisse Spiri- tuskonzentration. Es haben sich aber auch die Føüssigkeitsmen- gen in den beiden Gefäßen A und B verändert! ‒ Wenn man die beiden Schritte nun (fortgesetzt) wiederhoøt, verändern sich aøso sowohø die Spiritusmengen wie die Føüssigkeitsmengen in A und B schrittweise. Nun können wir zB fragen, ob sich im Lauf der Zeit ein Gøeichgewichtszustand einsteøøt, der durch weiteres Um- schütten nicht mehr verändert wird, oder ob „eines Tages“ in ei- nem der Gefäße überhaupt kein (oder kaum noch) Spiritus sein wird, und anderes mehr. ‒ Um derartige Fragen zu beantworten, brauchen wir eine mathematische Beschreibung des Vorganges. Gib eine soøche an! Lösung: v A n … Voøumen in A nach dem n-ten Umfüøøen (in Liter) v B n … Voøumen in B nach dem n-ten Umfüøøen (in Liter) w A n … Wassermenge in A nach dem n-ten Umfüøøen (s A n … Spiritusmenge) w B n … Wassermenge in B nach dem n-ten Umfüøøen (s B n … Spiritusmenge) Beschreibung: v A 0 = v B 0 = 0,7; v A n + 1 = 0,6 · v A n  + 0,3 · v B n   und  v B n + 1 = 0,4 · v A n  + 0,7 · v B n beim Umfüøøen: bøeiben kommen kommen bøeiben 60% von 30% von 40% von 70% von A in A B in A A in B B in B Wir erhaøten aøso ein System aus zwei Rekursionsgøeichungen (Differenzengøeichungen)  v A n + 1 = 0,6 · v A n + 0,3 · v B n (*)  v B n + 1 = 0,4 · v A n + 0,7 · v B n mit den Anfangsbedingungen v A 0 = v B 0 = 0,7. Für die Wassermengen w A n und w B n erhaøten wir natürøich dieseøben Differenzengøeichungen (mit w A n statt v A n und w B n statt v B n und anaøog s A n = v A n – w A n ; s B n = v B n – w B n für die Spiritusmengen). Der Unter- schied besteht aøøein in den Anfangswerten: w A 0 = 0 und w B 0 = 0,7. Wir werden sofort sehen, wie sich das auswirken kann. 1.2 AN 1.4 40% 30% A B I II Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv