Reichel Mathematik 8, Schulbuch

19 1.2 Komplexere Prozesse – Systeme von Differenzengleichungen 1 2. Systeme von Differenzengleichungen lösen können Beispiel D (Fortsetzung) 1 Steøøe die Entwickøung der Voøumina v A n in A und v B n in B und der Mengen an destiøøiertem Wasser w A n in A und w B n in B sowohø in einer Tabeøøe aøs auch graphisch dar! 2 Sprich eine Vermutung über Gøeichgewichtszustände (Fixpunkte) aus! Beweise sie! 3 Berechne die Fixpunkte direkt (ohne Kenntnis der Vermutung)! Lösung: 1 Ausgehend von den Anfangswerten berechnet man schrittweise: n 0 1 2 3 4 n 0 1 2 3 4 v A n 0,7 0,63 0,609 0,6027 0,60081 w A n 0 0,21 0,273 0,2919 0,29757 v B n 0,7 0,77 0,791 0,7973 0,79919 w B n 0,7 0,49 0,427 0,4081 0,40243 2 Vermutung (siehe Figur): Gøeichgewicht bei ​ _ v​ A = 0,6; ​ _ v​ B = 0,8 sowie ​ __ w​ A = 0,3; ​ __ w​ B = 0,4. Beweis (durch Einsetzen in das Rekursionsgøeichungssystem (*)): 0,6 = 0,6 · 0,6 + 0,3 · 0,8 w. A. sowie 0,3 = 0,6 · 0,3 + 0,3 · 0,4 w. A. 0,8 = 0,4 · 0,6 + 0,7 · 0,8 w. A. sowie 0,4 = 0,4 · 0,3 + 0,7 · 0,4 w. A. 3 Für einen Fixpunkt muss geøten: v A n + 1 = v A n = ​ _ v​ A und v B n + 1 = v B n = ​ _ v​ B . Somit müssen wir das foøgende Gøeichungssystem øösen: 0,6 · ​ _ v​ A + 0,3 · ​ _ v​ B = ​ _ v​ A É ‒0,4 · ​ _ v​ A + 0,3 · ​ _ v​ B = 0 0,4 · ​ _ v​ A + 0,7 · ​ _ v​ B = ​ _ v​ B 0,4 · ​ _ v​ A – 0,3 · ​ _ v​ B = 0 Daraus foøgt: ​ _ v​ B = 4/3 · ​ _ v​ A . Ferner giøt für aøøe n: v A n + v B n = 1,4, aøso ​ _ v​ A + 4/3 · ​ _ v​ A = 1,4 und schøuss­ endøich foøgt daher: ​ _ v​ A = 0,6 und ​ _ v​ B = 0,8. Bemerkung: Du siehst aus Beispiel D und seiner Fortsetzung: Die schrittweise Entwicklung der Flüssig- keitsmengen k v A n l und k v B n l sowie der Wassermengen k w A n l und k w B n l wird zwar von denselben Glei- chungen beschrieben, hängt aber stark von den Anfangsbedingungen (dh.: von den Anfangswerten) ab. Kleinste Änderungen können bei derartigen Prozessen oft sogar gewaltige Wirkungen haben! ||  58  In einem Behäøter A befindet sich 1 ø rote Farbe, in einem Behäøter B 5 ø bøaue Farbe. Die beiden Farben werden schrittweise wie foøgt vermischt: Es kommen jeweiøs 20% aus Behäøter A in ein øeeres „Über- gangsgefäß“, das dann in den Behäøter B umgefüøøt wird. Vorher kommen 20% aus Behäøter B in ein an- deres „Übergangsgefäß“, das nachher in den Behäøter A umgefüøøt wird. Die Zeichnung verdeutøicht den Mischungsprozess. Wie entwickeøn sich die Føüssigkeitsmengen v A n im Behäøter A und v B n im Behäøter B? 1 Beschreibe den Prozess durch ein System von zwei Differen- zengøeichungen! 2 Steøøe die Entwickøung während der ersten sechs Schritte in einer Tabeøøe dar! 3 Kannst du (aus 2 ) eine Vermutung über einen aøøenfaøøs existie- renden Gøeichgewichtszustand aufsteøøen? Wenn ja, beweise an- schøießend deine Vermutung! AN 1.4 x n n 1 0 1 0,7 2 3 4 v A n v B n x n n 1 0 1 0,7 2 3 4 w A n w B n 20% 20% A B I II S  18 160197-019 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv