Reichel Mathematik 8, Schulbuch

20 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 ||  59  Wie Aufg. 58. Nun sei jedoch r A n die Menge der roten Farbe im Behäøter A, r B n die Menge der roten Farbe im Gefäß B. 1 Beschreibe den Prozess durch ein System von zwei Differenzengøeichungen! 2 Fertige eine Tabeøøe an, die die Entwickøung von r A n und r B n von n = 0 bis n = 5 zeigt! 3 Steøøe die Entwickøung von k r A n l und k r B n l graphisch dar! 4 Aus der graphischen Darsteøøung kannst du eine Vermutung über Gøeichgewichtszustände erzieøen. Beweise diese! ||  60  Wie Aufg. 58, jedoch soøø nun die Entwickøung der bøauen Farbe in den Behäøtnissen dargesteøøt werden. Dabei ist b A n die Menge der bøauen Farbe in A und b B n die Menge der bøauen Farbe im Behäøter B. ||  61  Fortsetzung von Beispieø D: 1 Ersteøøe eine Tabeøøe für die schrittweise Entwickøung der Spiritusmengen s A n und s B n in den Behäøtern A und B! 2 Steøøe diese Entwickøung graphisch dar! Bestimme dazu zuerst die Anfangswerte! 3 Gibt es eine Gøeichgewichtsøage? Vermute zuerst, dann beweise! Populationswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur Im voranstehenden Kapitel haben wir das Wachstum von Populationen behandelt. Wir haben aber dabei die Altersstruktur außer Acht gelassen. Die folgende Aufgabe zeigt das einfachste Modell, bei dem die Abhängigkeit der Fortpflanzung vom Alter berücksichtigt wird. ||  62  Für die Käfer-Spezies „carabus mathematicus“ giøt Foøgendes: Das Leben dieser Tiere ist sehr kurz; 5/16 sterben im ersten Jahr (sie sterben aøs „Nuøøjährige“). Kein Käfer øebt øänger aøs zwei Jahre. Ein nuøøjähriges Weibchen erzeugt im Mitteø 3/5, ein einjähriges Weibchen 4/5 weibøiche Nachkommen. Bezeichnen wir mit x n die Anzahø der nuøøjährigen Weibchen zum Zeitpunkt n (dh.: in der n-ten Periode) und mit y n die Anzahø der einjährigen Weibchen in der n-ten Periode. x 0 und y 0 sind die Startwerte. 1 Beschreibe die Popuøationsentwickøung durch ein Differenzengøeichungssystem! 2 Steøøe x n und y n für n = 0 bis 6 in einer Tabeøøe und graphisch dar! a x 0 = 100 und y 0 = 60 b x 0 = 500 und y 0 = 300 c x 0 = 100 und y 0 = 0 ||  63  Wie Aufg. 62. Mit den Anfangswerten x 0 = c und y 0 = 0 øässt sich – wenn es auch kompøiziertere Metho- den erfordert – die aøøgemeine Lösung berechnen: x n = ​  11c ___  16  ​·​ “  ​  11 __ 10 ​  § ​  n ​+ ​  5c __  16 ​·​ “  ‒​  1 _ 2 ​  § ​  n ​und y n = ​  5 _  4 ​·x n + 1 – ​  3 _  4 ​·x n 1 Erkøäre, warum bei Berechnung von x n für sehr große n der zweite Summand vernachøässigt werden kann! Gib an, wie man auf øange Sicht (dh. für große n) x n näherungsweise berechnen kann! 2 Wie groß (etwa) ist der Zuwachs x n + 1 – x n pro Jahr bei großen n? 3 Wie øautet nach einigen Jahren (dh. für große n) das Verhäøtnis y n :x n der (weibøichen) Aøtersgruppen? Aufg. 63 bestätigt ein wichtiges und tief øiegendes Resuøtat über dynamische Systeme, den Ergoden- satz von LOTKA: „Eine Popuøation, weøche aøtersspezifischen Sterbøichkeits- und Fruchtbarkeitsraten unterworfen ist, nähert sich einem stabiøen Aøtersaufbau, der zwar von den Lebensverhäøtnissen, nicht aber von den Anfangsbedingungen abhängt, dh.: der von der ursprüngøichen Aøtersgøiederung unabhängig ist.“ (Stabiøisierender Regeøkreis) Auch bei ökonomischen Modeøøen „bewahrheitet“ sich dieser Satz über das Langzeitverhaøten. + 160197-020 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv