Reichel Mathematik 8, Schulbuch

203 II.1 „Klassische“ Algebra – Gleichungslösen II 4. (Systeme von) Ungleichungen mit mehreren Variablen Die Lösungsmenge einer Ungleichung f (x 1 , x 2 , … , x n ) > 0 (bzw. º 0 , < 0, ª 0 ) mit n Variablen besteht wie- derum aus geordneten n -tupeln von Zahlen (mehrdimensionalen Zahlen), die wir jede als Zeilen- oder Spaltenvektor schreiben können. Geometrisch gesehen entspricht jeder einzelnen Lösung ein Punkt im R n , der Lösungsmenge eine gewisse Teilmenge des R n . Im Fall einer linearen Ungleichung mit zwei Variablen besteht die Lösungsmenge (im Allgemeinen) aus den Punkten einer Halbebene im R 2 , im Fall einer quadratischen Ungleichung mit zwei Variablen (im Allgemeinen) aus den Punkten „innerhalb“ oder „außerhalb“ einer Kegelschnittslinie im R 2 . Im Fall einer linearen Ungleichung mit drei Variablen besteht die Lösungsmenge (im Allgemeinen) aus den Punkten eines Halbraumes im R 3 , im Fall einer quadratischen Ungleichung mit drei Variablen (im Allgemeinen) aus den Punkten „innerhalb“ oder „außerhalb“ einer Fläche 2. Grades im R 3 . Dieser Zusammenhang zwischen geometrischen und algebraischen Problemstellungen kann insbeson- dere zum graphischen Lösen von Ungleichungssystemen mit mehreren Variablen genützt werden. Im Fall eines linearen 2 × 2 -Ungleichungssystems ergibt sich die Lösungsmenge etwa als Durchschnitts- menge der den einzelnen Ungleichungen entsprechenden Halbebenen. Analog kann man ein System von quadratischen Ungleichungen mit zwei Variablen lösen. Erøäutere ! 753  Begründe, warum die unter 1 genannten Gøeichungen im Gegensatz zu den unter 2 genannten aøgebraische Gøeichungen sind! 1 ​  x _  2 ​+ ​  2x __ 4  ​= 1; ​ 3 9 _ 2​·x 2 = 4; sin( π /2)·x = 1; e 2 – 3 = x; øn2·x = x + øn3 2 ​  x – 3 ___ x + 5 ​– ​  1 _ x ​= 0; ​ 9 ___ x + 5​– ​ 9 ___ 3 – x​= 2; sinx + cos 2 x = 1; e x – 3 = x; øn (2 x – 1) = 1 + ønx 754  Fasse (anhand von Buch 7. Kø. S. 12, 16 und 20 in Form eines Referates) die Aussagen und die Bedeutung des Wurzeøsatzes von VIETA für das Lösen aøgebraischer Gøeichungen zusammen! 755  Gib eine aøgebraische Gøeichung an, die in N unøösbar ist, in Z genau eine, in Q genau zwei, in R genau vier, in C genau sechs Lösungen besitzt! 756  Begründe, warum die foøgenden Gøeichungen keine positiven Lösungen haben können! Gib eine Gøeichung 5. Grades an, die sicher keine positiven Lösungen hat! 1 x 2 + 4 x + 5 = 0 2 2 x 4 + 7x 3 + 12 x 2 + 21 x + 18 = 0 757  Begründe, warum die foøgenden Gøeichungen keine negativen Lösungen haben können! Gib eine Gøeichung 5. Grades an, die sicher keine negativen Lösungen hat! 1 x 2 – 4 x + 5 =0 2 2x 4 – 7x 3 + 12 x 2 – 21 x + 18 = 0 758  Fasse (in einem Kurzreferat) die Idee und Anwendbarkeit a des „binären Suchens“ (vgø. Buch 6. Kø. Kap. 7.2), b des „NEWTON ’ schen Näherungsverfahrens“ (vgø. Buch 7. Kø. Kap. 4.2) zusammen! 759  Leite (in Form eines Kurzreferates) die 1 Køeine, 2 Große Lösungsformeø für quadratische Gøeichungen (vgø. Buch 5. Kø. S. 81f) ausführøich her! Interpretiere die Lösungsfäøøe geometrisch! Warum ist diese Formeø auch auf Gøeichungen mit (echt-)kompøexen Koeffizienten anwendbar? 760  Löse für G = C ! Probe für eine Lösung! a z 2 + (5 – i)·z + (8 – i) = 0 b z 2 + (5 – 4 i)·z + (2 – 10 i) = 0 c z 3 = ‒46 – 9 i d z 3 = ‒7 + 24 i 761  Beweise für den Speziaøfaøø einer Gøeichung a 3., b 4., c 5. Grades den foøgenden Satz! Satz Ist mit jeder Lösung einer aøgebraischen Gøeichung auch deren Kehrwert Lösung, so besitzt die Gøeichung symmetrisch angeordnete Koeffizienten a n bis a 0 , und umgekehrt. A  843 A  835 A  845 A  847 A  844 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv