Reichel Mathematik 8, Schulbuch

21 1.2 Komplexere Prozesse – Systeme von Differenzengleichungen 1 Ein Modell aus der Wirtschaft 1 Die Volkswirtschaft unterscheidet mehrere Industriesektoren und den Sektor „private Haushalte“. Jeder Industriesektor liefert an andere Industriesektoren und bezieht Waren für die Herstellung seiner Waren („negative Lieferung“). Die dadurch entstehende gegenseitige Abhängigkeit steht – so lange keine äuße- ren Einflüsse wirken – im Allgemeinen in einem einigermaßen stabilen Gleichgewicht. Viele Faktoren wirken mit- und gegeneinander: Preise, Kurse ausländischer Währungen (zB der jeweilige Dollarkurs), Konsumgewohnheiten der Bevölkerung, Wirkungen der Werbung, das allgemeine Einkommensniveau und vieles andere mehr. Jede Änderung eines Faktors kann auch völlig unvorhergesehene Auswirkungen haben. Dass sich zB der Ölpreis auf den Weltmärkten auf den Benzinpreis auswirkt, ist klar; nicht ganz so selbstverständlich sind die Wirkungen des Ölpreises auf gewisse Aktienkurse oder Preise von Waren, die nur indirekt vom Ölpreis abhängen. Im folgenden Beispiel wollen wir der Einfachheit halber nur zwei Industriesektoren betrachten. 64 Wir betrachten zwei Industriezweige A und B, die voneinander abhängen. A produziert im n-ten Jahr die Menge x n , B produziert im n-ten Jahr die Menge y n (Menge der produzierten Ware in Miøøionen Tonnen). 60% von x n wird von A seøbst verbraucht, 40% werden an B geøiefert. Umgekehrt wird 30% von y n an A geøiefert und 70% der in B erzeugten Ware innerhaøb B seøbst verbraucht; x n und y n bezeichnen aøso die in A und B erzeugten Warenmengen („Output“) im n-ten Jahr. Der für die Produktion benötigte „Input“ setzt sich aus den angeøieferten und den zum Eigenverbrauch seøbst erzeugten Warenmengen zusam- men. Wir gehen nun davon aus, dass der „Output“ von A und B im Foøgejahr jeweiøs gøeich dem „Input“ vom Vorjahr ist. 1 1 Beschreibe den Vorgang durch zwei Differenzengøeichungen! 2 Berechne den Output x n und y n für die ersten fünf Jahre, wenn x 0 = 100 und y 0 = 150 Einheiten sind! Interpretiere das Resuøtat mit eigenen Worten! 3 Steøøe die Entwickøung graphisch dar! 4 Ermittøe, ob das System einem Gøeichgewichtszustand zustrebt! Wenn ja, weøchem? (Probe!) Vergøeiche mit dem Anfangszustand! Was fäøøt dir auf? | 65 Gegeben sind die foøgenden Differenzengøeichungssysteme. Berechne in Abhängigkeit vom Anfangs zustand (x 0 1 y 0 ) den Zustand (x 3 1 y 3 )! a x n + 1 = 2·x n + 3·y n b x n + 1 = x n + 2·y n c x n + 1 = x n – y n d x n + 1 = x n + y n y n + 1 = x n + y n y n + 1 = x n – y n y n + 1 = 2·x n y n + 1 = ‒2·y n 66 Ein dynamischer Prozess sei durch die foøgenden Differenzengøeichungen beschrieben. Für aøøe n giøt a a n + b n = 6, b a n + b n = 0,7. Gibt es einen Gøeichgewichtszustand? Wenn ja, berechne _ aund _ b! a n + 1 = 0,8·a n + 0,2·b n b n + 1 = 0,2·a n + 0,8·b n 67 Ein dynamischer Prozess sei durch die foøgenden Differenzengøeichungen beschrieben für x 0 = 1 und y 0 = 1. Berechne 1 x 4 , y 4 , 2 x n , y n ! a x n + 1 = 2·x n – y n b x n + 1 = x n – 2·y n y n + 1 = x n + 4·y n y n + 1 = 4·x n + y n 68 Deute den Zustand (x n 1 y n ) eines Systems von zwei durch Differenzengøeichungen gekoppeøten Größen aøs kompøexe Zahø! Wie sieht nun die „Bahn“ des Systems aus? Veranschauøiche anhand der Fortsetzung von Beispieø D in der GAUSS’schen Zahøenebene! 1 Die so genannten Input-Output-Modelle gehen immer davon aus, dass Input und Output streng proportional – hier sogar gleich – sind. + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv