Reichel Mathematik 8, Schulbuch

215 II.2 „Moderne“ Algebra – Algebraische Strukturen II Zahlenalgebra 848 Wiederhoøe anhand von Buch 7. Kø. S. 7 die Definitionen der Grundrechnungsarten in C ! Definiere anaøog die Grundrechnungsarten in Q , indem du die rationaøe Zahø q in der Form q = a/b mit a, b * Z , b ≠ 0 darsteøøst! 849 Berechne mögøichst geschickt unter Verwendung der Rechengesetze! a (3 – 2 i) 3 – 3 · (3 – 2 i) 2 b 4 · (4 + 2 i) 2 – (4 + 2 i) 3 c   (1 + 2 i)  2 – (1 – 2 i)  2 ___________ 4 i  d   2 i ___________  (1 + 3 i)  2 – (1 – 3 i)  2 e 9 _____ 2 + i · 9 5– 9 _____ 2 + i · 9 5 f 9 _____ 3 + i · 9 7– 9 _____ 3 + i · 9 7 850 1 Ermittøe die Lösungsmenge L der Gøeichung a z 3 = 1, b z 3 = ‒8, c z 4 = 1, d z 4 = 16 für G = C ! 2 Überprüfe, ob (L; · ) eine kommutative Gruppe biødet! Algebraische Strukturen 851 Beschreibe die aøgebraische Struktur Körper aøøgemein mitteøs der Symboøe M, ˛ und · 1 mit, 2 ohne Verwendung des Gruppenbegriffs! 852 Prüfe nach, ob (M; ˛ , · ) einen Körper biødet, wenn a ˛ b = a + b; a · b = a · b! a M = {a ‡ a = u + v · 9 _ 5, u, v * Q } b M = {a ‡ a = u + v · 9 _ 2, u, v * Q } c M = {a ‡ a = u + v · 9 _ 8, u, v * Q } d M = {a ‡ a = u + v · 9 _ 6, u, v * Q } 853 Prüfe nach, ob ( Q ; ˛ , · ) mit a ˛ b = a + b – 1 und a · b = a + b – ab einen Körper biødet! 854 Vergøeiche (in Form eines Kurzreferates) die Strukturen (D; +) und ( R ; +)! Dabei bedeutet D die Menge aøøer Drehungen im R 2 mit Drehzentrum im Ursprung durch den Winkeø δ * R und „+“ die Zusammensetzung (Hintereinanderausführung) zweier soøcher Drehungen bzw. die gewöhnøiche Addition reeøøer Zahøen. 855 Vergøeiche (in Form eines Kurzreferates) die Strukturen (S; +) und ( R ;·)! Dabei bedeutet S die Menge aøøer zentrischen Streckungen im R 2 mit Zentrum im Ursprung und Streckfaktor k * R und „+“ die Zusammensetzung (Hintereinanderausführung) zweier soøcher zentrischen Streckungen sowie „ · “ die gewöhnøiche Muøtipøikation reeøøer Zahøen. 856 Vergøeiche (in Form eines Kurzreferates) die Strukturen (T; +) und (V; +)! Dabei bedeutet T die Menge der Transøationen im R 2 und „+“ deren Zusammensetzung (Hintereinanderausführung) sowie V die Menge der Vektoren des R 2 und „+“ die Vektoraddition! 857 1 Fasse (in Form eines Kurzreferates) die Regeøn für das Rechnen in (V; +, MVS, × ) zusammen, wobei V die Menge der Vektoren des R 3 , „+“ die Vektoraddition, „MVS“ die Muøtipøikation eines Vektors mit einem Skaøar k * R und „ × “ das vektorieøøe Produkt bedeutet! 2 Warum øassen sich anaøoge Regeøn nicht im R 2 aufsteøøen? 858 1 Fasse (in Form eines Kurzreferates) die Regeøn für das Rechnen in (V; +; MVS; · ) zusammen, wobei V die Menge der Vektoren des R 3 , „+“ die Vektoraddition, „MVS“ die Muøtipøikation eines Vektors mit einem Skaøar k * R und „ · “ das skaøare Produkt zweier Vektoren bedeutet! 2 Lassen sich hier anaøoge Regeøn im R 2 aufsteøøen? 859 Vergøeiche (in Form eines Kurzreferates – siehe Buch 5. Kø. S. 18, 25 und 59) die Strukturen! a 1 (Menge aøøer Teiømengen von {1; 2; 3}; Durchschnitt, Vereinigung) 2 (Menge aøøer Teiøer von 6; ggT, kgV) b 1 ({{ }; {1}}; Durchschnitt, Vereinigung, Kompøementärmengenbiødung) 2 ({w; f}; Konjunktion, Disjunktion, Negation) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv