Reichel Mathematik 8, Schulbuch

216 III Analysis Analysis (engl.: Calculus – ) ist der Sammelname für jene mathematischen Disziplinen, bei denen Funktionen (insbesondere auch Folgen als deren Spezialfall) auf jene Eigenschaften hin untersucht werden, die mit Grenzprozes- sen zu tun haben (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 4 und 7, Buch 7. Kl. Kap. 2, 3 und 4 sowie in diesem Band Kap. 1, 2 und 3). Im Mittelpunkt der theoriebezogenen Betrachtungen stehen Begriffe wie Folge, Reihe, Grenzwert, Asymptote, Stetigkeit, Ableitung, Stammfunktion, Differenzen- und Differentialgleichung. Im Mittelpunkt der praxis- und anwendungsbezogenen Betrachtungen steht das Modellieren von Abhän- gigkeiten durch diskrete bzw. kontinuierliche (stetige) Funktionen und das Interpretieren ihrer Eigen- schaften in Hinblick auf die zu modellierende Realität, insbesondere in Wirtschaft und Technik. Wir beschränk(t)en uns dabei im Wesentlichen auf einstellige und reelle Funktionen, obwohl bzw. weil man mit teilweise analogen Mitteln mehrstellige und komplexe Funktionen untersuchen kann. Die Er- weiterung auf den R n bzw. C vereinfacht vielfach nicht nur die Notation und Berechnung, sondern ge- währt oft auch tiefe(re) theoretische Einblicke. Vgø. etwa Buch 7. Kø. Kap. 1.7 sowie Aufg. 888! Funktionen (Folgen) als Beschreibungsmittel Definition Eine Zuordnung f, die jedem n-tupeø (x 1 , x 2 , …, x n ) eines gewissen Definitionsbereiches genau einen „Wert“ y = f (x 1 , x 2 , …, x n ) zuweist, heißt n-steøøige Funktion. Bemerkungen: 1) Im Fall einer einstelligen Funktion schreibt man y = f (x) . Ist der Definitionsbereich N , so spricht man von einer Folge und schreibt k y n l statt y = f (n) . 2) Im Fall einer zweistelligen Funktion schreibt man statt y = f (x 1 , x 2 ) meist z = f (x, y) . 3) Die x i und y sind im Allgemeinen Zahlen, müssen es aber nicht sein. So kann man etwa die Addition zweier Vektoren x 1 und x 2 des R 2 als zweistellige „Vektor-Funktion“ auffassen, die dem Vektor-Paar ( x 1 , x 2 ) genau einen Vektor y zuordnet. Analog kann man die Vereinigung zweier Mengen als zweistel- lige „Mengen-Funktion“, die Verkettung zweier Funktionen als zweistellige „Funktionen-Funktion“ auffassen. Insofern sind algebraische Verknüpfungen nur spezielle (im Allgemeinen zweistellige) Funktionen. 4) Die Untersuchung mehrstelliger Funktionen kann bisweilen auf die Untersuchung einstelliger Funk­ tionen zurückgeführt werden (vgl. Buch 5. Kl. S. 152f und Buch 7. Kl. S. 87f). Viele Anwendungen von Mathematik gründen auf dem Funktionskonzept, wie – das modellhafte Beschreiben der Abhängigkeit einer Größe von einer (oder mehreren) anderen (vgl. zB Buch 5. Kl. S. 108ff), insbesondere (als Sonderfall davon) – das Beschreiben zeitlicher Entwicklungen , – das Beschreiben geometrischer Formen und Ortslinien usw. Beim modellhaften Beschreiben sollen die Eigenschaften der Modellfunktion die Eigenschaften der Zusammenhän- ge in der „Wirklichkeit“ nachbilden. Je nach Situation ist dabei einmal (eher) eine diskrete, ein anderes Mal (eher) eine stetige (kontinuierliche) Funktion angemessen. Erkøäre anhand von Fig. III.2! F  III.1 Fig. III.1 K  III.3 III.1 K  II.2 K  1 A  866 Fig. III.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv