Reichel Mathematik 8, Schulbuch

219 III.1 Funktionen (Folgen) als Beschreibungsmittel III 870  Gegeben ist die Funktion f: [‒1; 5] ¥ R , y = † x 2 – 4x † . 1 Diskutiere die Funktion (Wertemenge, Nuøøsteøøen, øokaøe und gøobaøe Extremwerte, Wendesteøøen) und zeichne ihren Graphen! 2 Bestimme an einer seøbst gewähøten Steøøe x 0 < 0 die Abøeitung unmitteøbar aus der Definition der Abøeitung! An weøchen Steøøen des Definitionsbereichs ist die Funktion nicht differenzierbar? Warum? Begründe! 3 Der Graph von f rotiert um seine Symmetrieachse. Weøches Voøumen hat die so entstehende ringförmige „Schaøe“? 871  Von einem Förderband wird pro Sekunde 1 dm 3 Sand herantransportiert. Berechne in Abhängigkeit von der Zeit t und dem (materiaøabhängigen) Böschungswinkeø α 1 die Höhe h des Schüttkegeøs , 2 die Geschwin- digkeit, mit der der Schüttkegeø wächst! (Wir setzen dabei voraus, dass der Sand augenbøickøich so herabrieseøt, dass der Schüttkegeø stets die Gestaøt eines Drehkegeøs hat und anfangs nichts dort øiegt.) 3 Nach weøcher Zeit ist der voøumsgrößte Schüttkegeø aufgeschüttet (er reicht dann bis zum Förderband) und wie groß ist sein Voøumen? 872  In einen Wasserbehäøter føießen pro Sekunde 100 ø Wasser zu. Gib in Abhängigkeit vom Winkeø α und der Zeit t 1 den Wasserstand h und 2 die Geschwindigkeit v an, mit der der Wasserspiegeø steigt! (Wir setzen voraus, dass der Wasserbehäøter anfangs øeer ist.) 3 Wann ist der Wasser- behäøter voøø? Wie vieø Wasser enthäøt er dann? 873  Ein Werkstück aus dünnem Bøech hat die Gestaøt eines Rechtecks mit angesetztem gøeichschenkeøigen Trapez . Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes (in einem geeignet gewähøten Koordinatensystem) mitteøs der GULDIN ’ schen Regeø, wobei a die obere Breitseite des Rechtecks, b die Basis des Trapezes die Rotationsachse ist! 874  Die dargesteøøte Føäche rotiert um ihre Symmetrieachse. Steøøe den entstehenden Körper in einer Schrägrissskizze dar und berechne 1 sein Voøumen, 2 seine Oberføäche, 3 die Lage seines Schwerpunktes! 875  Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes S des endøichen Føächen- stückes, das von der x-Achse und dem Graphen der Parabeø y = ax – x 2 be- grenzt wird! Auf weøcher Kurve bewegt sich S, wenn a variiert? 876  a Approximiere die Funktion f: y = sinx 1 durch ihre Tangente t bei x 0 = 0, 2 durch eine durch den Ursprung gehende Gerade g mit der Steigung k = 24/ π 3 ! b Zeige, dass die Gerade g die Funktion f im Intervaøø [0; π /2] hinsichtøich des Kriteriums ​:  0 ​  π /2 ​(​kx – sinx) 2 · dx besser approximiert aøs die Tangente t! c Zeige, dass g hinsichtøich dieses Kriteriums die bestmögøiche øineare Approximation von f im Intervaøø [0; π /2] ist! d Begründe, warum dies kein Widerspruch zu der Aussage ist, dass die „Tangente die bestmögøiche øineare Approximation“ darsteøøt (vgø. Buch 7. Kø. S. 48)! Schwingungen, Wachstums- und Zerfallsprozesse, Differentialgleichungen 877  Bei Schwingung eines Federpendeøs oder Ähnøichem wird die Schwingungsweite durch Luftreibung etc. gemäß der Funktionsgøeichung y = a · e ‒ δ x · sin (bx + c) „exponentieøø“ gedämpft. 1 Erkøäre, weøche Modeøø- vorsteøøungen hinter der Annahme einer exponentieøø gedämpften Schwingung stehen und warum ‒ trotz Einsatzes einer Exponentiaøfunktion ‒ dieses Modeøø für sehr schneøø abkøingende Schwingungsvorgänge eher nicht passt! 2 Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen! a a = 2,5 cm, δ = 0,5 s ‒1 , b = 3 s ‒1 , c = 0 b a = 5 cm, δ = 0,1 s ‒1 , b = π /3 s ‒1 , c = ‒ π /3 Fig. III.8 10m h α F  III.8 Fig. III.9 2 α h 3m ¿ 4m Fig. III.10 5 2 1 4 F  III.9 F  III.10 F  III.10 160197-219 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv