Reichel Mathematik 8, Schulbuch

22 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 Differenzengleichungen 2. Ordnung mit einer Variablen 1. Differenzengleichungen 2. Ordnung mit einer Variablen lösen können Häufig treten bei der Beschreibung dynamischer Systeme Differenzengleichungen folgenden Typs auf: x n + 2 = a·x n + 1 + b·x n x 0 , x 1 ; a, b * R (*) Eine derartige Gleichung heißt lineare Differenzengleichung 2. Ordnung . Sie lässt sich sehr einfach lösen, wenn man die folgenden Tatsachen kennt: Beispiel E Beweise! a Wenn eine Foøge k x n l Lösung der Differenzengøeichung (*) ist, so sind auch aøøe Foøgen k c·x n l , c * R , Lösungen von (*). b Wenn die Foøgen k x n l und k y n l Lösungen von (*) sind, so ist auch die „Summenfoøge“ k x n + y n l eine Lösung von (*). c Jede Differenzengøeichung vom Typ (*) hat Lösungen der Art x n = λ n , wobei λ eine feste Zahø ist, die zunächst natürøich unbekannt ist. (Dieses λ muss eben berechnet werden.) Lösung: a Setze k c · x n l in die rechte Seite der Differenzengøeichung (*) ein, und du erhäøtst: a · c · x n + 1 + b · c · x n = c · (a · x n + 1 + b · x n ) = c · x n + 2 . Die Foøge k c · x n l erfüøøt die Differenzengøeichung, sie ist aøso Lösung. Und das haben wir behauptet! b Setze die Summenfoøge k x n + y n l in die rechte Seite von (*) ein, und du erhäøtst: a · (x n + 1 + y n + 1 ) + b · (x n + y n ) = (a · x n + 1 + b · x n ) + (a · y n + 1 + b · y n ) = x n + 2 + y n + 2 . Die Summenfoøge erfüøøt die Differenzengøeichung (*), sie ist aøso ‒ wie behauptet ‒ Lösung. c Wir setzen x n = λ n in die Differenzengøeichung ein (Ansatz für die Lösung mit der unbestimmten Zahø λ ) und erhaøten: λ n + 2 = a · λ n + 1 + b · λ n É ( λ 2 – a · λ – b) · λ n = 0. Und da das für aøøe n * N geøten muss, kann nur λ = 0 oder λ 2 – a · λ – b = 0 sein. Für die Lösungen dieser quadratischen Gøeichung ‒ genannt charakteristische Gøeichung ‒ erhäøt man: λ 1,2 = ​  a _ 2 ​± ​ 9 ___ ​  ​ a​  2 ​ __  4 ​+ b​ Durch Einsetzen zeigt man schøießøich, dass sowohø x n = λ 1 n aøs auch x n = λ 2 n Lösungen von (*) sind. Muss dabei λ 1 , λ 2 * R und λ 1 ≠ λ 2 sein ? Aus Beispiel E ergibt sich der folgende Lösungsansatz für Differenzengleichung vom Typ (*):  1 1. Schritt: Unbestimmter Ansatz x n = λ n . 2. Schritt: Lösen der entstehenden charakteristischen Gleichung λ 2  – a· λ  – b = 0 ; sie hat im Allgemeinen zwei (reelle) Wurzeln λ 1 und λ 2 . 3. Schritt: Ansetzen der allgemeinen Lösung x n = c 1 · λ 1 n + c 2 · λ 2 n mit den unbestimmten Koeffizienten c 1 und c 2 ( λ 1 ≠ λ 2 ). 4. Schritt: Bestimmung von c 1 und c 2 aus dem Gleichungssystem I) c 1 · λ 1 0 + c 2 · λ 2 0 = x 0 ( É c 1 + c 2 = x 0 ) II) c 1 · λ 1 1 + c 2 · λ 2 1 = x 1 ( É c 1 · λ 1 + c 2 · λ 2 = x 1 ) welches sich durch Einsetzen der Anfangswerte x 0 und x 1 in die allgemeine Lösung ergibt.  1 Analoges gilt für die allgemeine lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung. Diese hat die Gestalt x n + k = a k – 1 ·x n + k – 1 + a k – 2 ·x n + k – 2 + … + a 1 ·x n + 1 + a 0 ·x n 1.3 A  80 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv