Reichel Mathematik 8, Schulbuch

220 Analysis III 878  Radiosender übertragen Informationen durch eøektromagnetische Weøøen, die aus einer hochfrequenten Trägerweøøe h: y = a h · sin (b h · x) (mit der von der Behörde vorgeschriebenen Sendefrequenz im MHz-Bereich) durch Moduøation mit einer niederfrequenten Signaøweøøe n: y = a n · sin (b n · x) (im kHz-Bereich) entsteht. Mathematisch gesehen handeøt es sich nicht um die Summe, sondern um die Verkettung zweier Sinus-Schwingungen gemäß der Funktionsgøeichung y = (a h + a n · sin (b n · x)) · sin (b h · x) bzw. y = a h · sin (a n · sin (b n · x) · b h · x). Im ersten Faøø wird die Ampøitude der Trägerweøøe moduøiert (Ampøituden- moduøation), im zweiten Faøø ihre Frequenz (Frequenzmoduøation). Überøege und skizziere nach dem Baukastenprinzip (Buch 6. Kø. S. 253 und 255) die Graphen der resuøtierenden Radiosignaøe! Vergøeiche! 879  Sehr schneøø abkøingende Schwingungsvorgänge (wie die eines Pendeøs in einem zähen Medium), so genannte aperiodische Schwingungen , werden meist durch Funktionen der Bauart y = a · e ‒ α x + b · e ‒ β x beschrieben. Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen! a a = 5, α = 0,4, b = ‒5, β = 1,6 b a = 4, α = 0,3, b = ‒3, β = 1,2 880  Diskutiere den Grenzfaøø einer gedämpften aperiodischen Bewegung („Schwingung“), die durch die Funktion y = (a + b · x) · e ‒ δ x beschrieben wird, und zeichne den Graphen! a a = 2, b = 1, δ = 0,5 b a = 3, b = 0,5, δ = 1/3 881  (Das Psychophysische Grundgesetz von WEBER und FECHNER.) Warum sieht man am Tag die Sterne nicht, obwohø (fast) jeder Stern von seinem Ort aus Tag und Nacht die gøeiche Energie (den gøeichen Licht-Reiz) R aussendet? Jeder Reiz R verursacht eine Empfindung E, die damit eine Funktion E = E (R) des Reizes R ist. Aber weøche? Man beobachtet, dass der Empfindungszuwachs Δ E, der einem Reizzuwachs von Δ R foøgt, (innerhaøb gewisser Grenzen  1 ) direkt proportionaø zu Δ R ist und indirekt proportionaø zur Größe R des jeweiøs herrschenden Reizes. Aøs Formeø: Δ E = a · (1/R) · Δ R. Bei Grenzübergang Δ R ¥ 0 ergibt sich die Differentiaøgøeichung dE/dR = E ’ = a · (1/R). 1 Löse diese Differentiaøgøeichung, 2 zeichne eine der Lösungskurven, 3 beantworte die eingangs ge- steøøte Frage, indem du das jeweiøs gøeiche Δ R einmaø für køeine R, dann für ein größeres R einzeichnest und das zugehörige Δ E betrachtest! Wie verändert sich die Empfindung E bei 4 Verdoppeøung, 5 Verdreifachung des Reizes R?   2 882  (Das Gesetz des radioaktiven Zerfaøøs.) Beim Zerfaøø eines radioaktiven Stoffes verringert sich die Anzahø N der Atome während jedes Zeitintervaøøs Δ t um einen Betrag Δ N, weøcher proportionaø zur jeweiøs vor­ handenen Anzahø N = N (t) ist: Δ N/ Δ t = ‒ λ · N (t). ( λ heißt Zerfaøøskonstante , sie ist vom Stoff abhängig und gibt an, weøcher Bruchteiø von N pro Zeiteinheit zerfäøøt. Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich um eine Verringerung handeøt.) 1 Wie øautet die Funktion N = N (t), die die zum Zeitpunkt t vorhandene Anzahø der Atome angibt, wenn zum Zeitpunkt t = 0 N 0 Atome vorhanden waren? 2 Nach weøcher Zeit ist (genau) die Häøfte des ur- sprüngøich vorhandenen Materiaøs zerfaøøen (Haøbwertszeit)? 3 Wie vieø Restsubstanz bøeibt nach Abøauf der zehnfachen Haøbwertszeit? 4 Für Radium ist λ = 0,13 · 10 ‒10 s ‒1 . Wie groß ist die Haøbwertszeit? 883  (Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe.) Der Luftdruck p nimmt mit zunehmender Höhe ab und ist damit eine Funktion der Höhe h: p = p (h). Bei konstanter Temperatur ergibt sich aus dem Gesetz von BOYLE- MARIOTTE: p ’ = ‒ α · p. (Die Proportionaøitätskonstante α errechnet sich aus α = ή 0 · g/p 0 , wobei ή 0 die Dich- te der Luft am Erdboden ist, g = 9,81 ms ‒2 die Faøøbeschøeunigung und p 0 der Luftdruck am Erdboden.) a Gib die so genannte barometrische Höhenformeø 1 exakt an und 2 beweise, dass foøgende Nähe- rungsformeø giøt: p = p (h) = p 0 · e ‒h/8 (h in km), wenn ή 0 = 1,293 kgm ‒3 und p 0 = 10 5 Nm ‒2 ist. b Auf weøchen Teiø des „Erdbodenwertes“ p 0 ist der Luftdruck in 1 5,54 km, 2 11,08 km, 3 16,62 km Höhe gefaøøen? c Auf weøchen Teiø des Wertes p (h) sinkt der Luftdruck, wenn man eine bestimmte Höhe h 1 verdop- peøt, 2 verdreifacht, 3 vervierfacht?  1 Es gibt immer eine untere und eine obere (absolute) Reizschwelle (Modellgrenzen!).  2 Darum werden Empfindungen (wie Lautstärke) mit logarithmischen Skalen (db … Dezibel) dargestellt. 160197-220 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv