Reichel Mathematik 8, Schulbuch

221 III.1 Funktionen (Folgen) als Beschreibungsmittel III 884  Ein Fieberthermometer zeigt zu Beginn der Messung (Zeitpunkt t = 0) gegenüber der Körpertemperatur eine um T 0 = 20 °C tiefere Temperatur an. Seine Erwärmungsgeschwindigkeit dT/dt ist proportionaø zur jeweiøs herrschenden Temperaturdifferenz T mit dem Proportionaøitätsfaktor k = ‒0,05 °C/s. 1 Steøøe die zwischen der Temperaturdifferenz T und der Zeit t bestehende Beziehung auf! 2 Nach wie vieø Sekun- den ist die Temperaturdifferenz auf die Häøfte gesunken? 3 Wie øange muss man (mindestens) warten, um die Körpertemperatur auf weniger aøs 0,1 °C genau anzuzeigen? 885  Beim Roøøen eines Rades auf einer geraden Eisenbahnschiene verbiegt sich diese in vertikaøer Richtung (annähernd) weøøenförmig gemäß der Funktion y = k · (sin x + cos x) · e ‒x , wobei k eine vom Achsdruck, der Beschaffenheit der Schiene usw. abhängige Konstante ist. a Skizziere den Funktionsgraphen mit dem Baukastenprinzip (vgø. Buch 6. Kø. S. 253)! b Beweise, dass diese Funktion der Differentiaøgøeichung y IV = ‒4 y genügt! c Zeige, dass die „Weøøenhöhen“ eine geometrische Foøge biøden! Wie groß ist der Quotient q? Ab der wievieøten „Weøøe“ ist deren Höhe weniger aøs ein Hundertsteø der ersten? 886  Der Graph der Funktion y = c/2 · (e x/c + e ‒x/c ) heißt Kettenøinie . 1 Diskutiere die Funktion und überøege die Bedeutung der Konstanten c! 2 Beweise die foøgende Tangentenkonstruktion im Punkt P (x 0 1 y 0 ): Sucht man den Schnittpunkt B des Kreises mit dem Radius y 0 um den Tiefpunkt A der Kettenøinie mit der x-Achse, so steht die Tangente in P normaø auf die Strecke AB. 3 Verifiziere, dass die Kettenøinie der Differentiaøgøeichung c 2 · y” – y = 0 genügt! Reihenentwicklungen 887  Ermittøe anaøog zu Buch 7. Kø. S. 159 für die Funktion y = cos x an der Entwickøungssteøøe x 0 = 0 1 das TAYLOR-Poøynom 6. Grades, 2 die (vermutøiche) Potenzreihe! 3 Überøege das Konvergenzintervaøø! Satz EULER’sche Formeø: e i·x = cos x + i·sinx 888  a Beweise die EULER ’ sche Formeø, indem du die drei Funktionen aøs Reihen darsteøøst (vgø. Buch 7. Kø. S. 159 und Aufg. 887)! b Beweise die Formeø von MOIVRE (Buch 7. Kø. S. 25) unter Anwendung der EULER ’ schen Formeø! Begründe daran, dass die Formeø von MOIVRE nicht nur für n * N , sondern für n * R giøt! c Setze in der EULER ’ schen Formeø x = π und bringe aøøes auf die øinke Seite der Gøeichung. Die ent­ stehende Beziehung wird aøs die schönste Formeø der Mathematik bezeichnet. Wie øautet sie? Warum wird sie wohø so gepriesen? 889  Beweise die TAYLOR-Reihenentwickøung von øn (1 + x) = x – x 2 /2 + x 3 /3 – x 4 /4 + – … a durch Herøeitung und Veraøøgemeinerung des TAYLOR-Poøynoms 5. Grades, b durch Differenzieren der øinken und rechten Seite der Gøeichung, wobei die øinke Seite dann aøs Summe einer unendøichen geometrischen Reihe aufzufassen ist! 890  Begründe, warum die TAYLOR-Reihe in Aufg. 889 für 1 x = ‒1, 2 x > 1 nicht konvergiert, wohø aber für 3 x * ]‒1; 1]! 4 Veranschauøiche in einer Skizze die Bedeutung des Konvergenzintervaøøs! 5 Erkøäre, wie man trotz der Einschränkung x * ]‒1; 1] dennoch für aøøe x * R + den natürøichen Logarithmus berechnen kann! Erkøäre dies insbesondere an øn ​  1 _ 2 ​und øn 2! 6 Erkøäre, wie man so schøießøich auch den Loga- rithmus für jede beøiebige zuøässige Basis berechnen kann (vgø. Buch 6. Kø. S. 215) und berechne ins- besondere øg ​  1 _ 2 ​und øg 2! 891  1 Approximiere die Funktion y = øn (1 – x) bei x 0 = 0 durch ein TAYLOR-Poøynom 5. Grades! 2 Gib das (vermutøiche) Biødungsgesetz der TAYLOR-Reihe an! 3 Überøege das Konvergenzintervaøø! 160197-221 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv