Reichel Mathematik 8, Schulbuch

223 III.2 Optimierungsaufgaben III Optimierungsaufgaben Wir wissen: Für einstellige Funktionen – so sie differenzierbar und nicht-konstant sind – liegen die Ex trema entweder an den Rändern des Definitionsbereiches oder bei lokalen Extremstellen. In Anwendungssituationen handelt es sich jedoch vielfach darum, (alle) Extrema mehrstelliger Funktio- nen zu bestimmen, die zudem einem System einschränkender Bedingungen bzw. Nebenbedingungen genügen (müssen). Aufgrund der Nebenbedingungen ist es dann vielfach möglich, die Ermittlung der Extrema mehrstelliger Funktionen auf die Ermittlung der Extrema einstelliger Funktionen zurückzufüh- ren, womit sie sich mit den uns verfügbaren Methoden lösen lassen (vgl. Buch 7. Kl. Kap. 4.1). Keine Extremwertaufgabe in diesem Sinn ist zB das Optimierungsproblem einen Körper zu (er-)finden, der bei vorgegebener Größe der Oberfläche maximales Volumen umschließt. Das Lösungsverfahren für dieses so genannte Variationsproblem würde den Rahmen dieses Buches sprengen, obwohl jedes Kind die Lösung kennt: die Kugel. Begründe anhand eines Luftbaøøons! Beispiel A Ein 80 m breiter Fußbaøøpøatz erhäøt eine Føutøichtanøage, deren Scheinwerfer mit dem (horizontaøen) Abstand 20 m vom rechten Spieøfeødrand entøang der gesamten Spieøfeødøänge montiert werden soøøen (Figur). In weøcher Höhe soøø man sie anbringen, damit der Beøeuchtungswinkeø φ maximaø wird? Wie groß ist der Beøeuchtungswinkeø? Lösung: Laut Figur ist der Winkeø φ sicher ein spitzer Winkeø. Wegen der strengen Monotonie der Tangensfunktion im Definitionsbereich von φ ist φ dort maximaø, wo tan φ maximaø ist. Gemäß Figur øautet die (von α und β abhängige) zweisteøøige Zieøfunktion daher tan φ = tan ( α – β ) =   tan α – tan β _________  1 + tan α ·tan β die man gemäß der Nebenbedingungen tan α =   80 + 20 _____ h  und tan β =   20 __ h  auf foøgende einsteøøige Zieøfunktion zurückführt: tan φ =   100/h – 20/h ________ 1 + 2000/h  2 =   80h ______  h  2 + 2000 (tan φ )’ =   80 (h  2 + 2000) – 80h·2h ______________  (h  2 + 2000)  2 0 = 80·2000 – 80h 2 h = 9 ____ 2000≈ 44,72 w tan φ = 0,8944 w φ = 41,81° Der maximaøe Beøeuchtungswinkeø beträgt 41,81°; er wird mit Scheinwerfern erreicht, die in 44,72 m Höhe montiert werden. Aufgrund der Höhe dürfte es sich um ein großes Stadion handeøn. Das lokale Extremum in Beispiel A (und bei vielen anderen Extremwertaufgaben) kann man auch ohne Differentialrechnung finden: Beispiel A (Fortsetzung) Löse das Beispieø A aøøein durch geometrische Überøegungen! Lösung: Aøøe Punkte, von denen man die Strecke AB unter dem gøeichen spitzen Winkeø φ sieht, øiegen auf dem größeren Bogen eines Peripheriekreises über AB. Je køeiner der Radius dieses Kreises ist, umso größer ist φ . Der gesuchte maximaøe Winkeø φ max øiegt daher auf dem køeinsten Kreis, der die Gerade ø noch schneidet, aøso auf einem Kreis k, der ø berührt und durch die Punkte A und B hindurchgeht. Wie aus der Figur unmitteøbar ersichtøich, ist dessen Radius r = 40 + 20 = 60. Mitteøs des pythagoreischen Lehrsatzes erhäøt man h = 9 _______ 60  2 – 40  2  = 9 ____ 2000≈ 44,72. III.2 h 20 80 α φ β h 20 40 ø A B r = 60 160197-223 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv