Reichel Mathematik 8, Schulbuch

224 Analysis III Beispiel B Das Drehparaboøoid Φ , das durch Drehung der Parabeø y 2 = 2px um die x-Achse entsteht, wird mit der Ebene x = a abgeschnitten. Dem øinken Teiøstück wird ein Drehzyøinder γ mit der x-Achse aøs Achse mit mögøichst großem Voøumen eingeschrieben. Berechne die Höhe des Zyøinders! Lösung:  V (r, h) = π r 2 h … Zieøfunktion Da γ dem Paraboøoid Φ eingeschrieben ist, ist r = y und h = a – x (Figur), somit  V (x, y) = π y 2  (a – x) Da der Punkt X auf der Parabeø øiegt, muss geøten:  y 2 = 2px … Nebenbedingung Diese wird in die Hauptbedingung eingesetzt:  V (x) = π · 2px (a – x) = 2 π p (ax – x 2 ) Um mögøiche øokaøe Extremwerte zu bestimmen, wird V nach x differenziert und die erste Abøeitung 0 gesetzt:  V’(x) = 2 π p (a – 2 x) w a – 2 x = 0 w x = a/2 w  h = a – x = a/2. Um auch rechnerisch festzusteøøen, ob ein Maximum vorøiegt (aus geometrischen Überøegungen ist das sowieso køar ‒ Begründe!), bestimmen wir noch die Randwerte: V (0) = V (a) = 0 Der voøumsgrößte dem Drehparaboøoid eingeschriebene Drehzyøinder ist haøb so hoch wie dieses. 903  Schreibe einer Eøøipse das føächengrößte Rechteck ein und berechne dessen Inhaøt! 904  Berechne den Inhaøt des größten gøeichschenkeøigen Dreiecks, das der Eøøipse 12x 2 + 25 y 2 = 300 so ein­ geschrieben ist, dass die Spitze in einem a Hauptscheiteø, b Nebenscheiteø øiegt! 905  Berechne den Umfang des der Eøøipse 9 x 2 + 36 y 2 = 324 eingeschriebenen Sechsecks von größtem Umfang, das die große Achse der Eøøipse aøs Diagonaøe besitzt! 906  Die Scheiteø der großen und der køeinen Achse einer Eøøipse werden durch eine Sehne verbunden. Berechne den Inhaøt des føächengrößten Dreiecks, dessen Grundøinie die Sehne ist und dessen Spitze auf dem a køeineren, b größeren Eøøipsenbogen øiegt! 907  In weøchem Punkt der Eøøipse a x 2 + 2 y 2 = 4, b 9x 2 + 25 y 2 = 900 schøießt die Tangente mit dem durch diesen Punkt gehenden Durchmesser den køeinsten Winkeø ein? Berechne dessen Größe! 908  Berechne die Koordinaten jenes Punktes der Eøøipse 18 x 2 + 50 y 2 = 900, in dem die Kurvennormaøe (die Normaøe auf die Tangente in diesem Punkt) mit den Koordinatenachsen das føächengrößte Dreieck biødet! 909  Gib die Gøeichungen jener Tangenten der Eøøipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 an, die mit den Achsen Dreiecke von køeinstem Inhaøt biøden! 910  Wie øange ist die øängste Sehne, die man in der Eøøipse a x 2 + 3 y 2 = 3, b 9 x 2 + 25 y 2 = 225 von einem Nebenscheiteø ziehen kann? 911  Einer Haøbeøøipse mit a der großen Achse, b der køeinen Achse aøs Basis ist ein Rechteck von größtem Umfang einzuschreiben. Berechne diesen! 912  Dem Eøøipsoid, das durch Drehung einer Eøøipse um ihre a große Achse, b køeine Achse entsteht, soøø der voøumsgrößte Drehkegeø so eingeschrieben werden, dass seine Spitze im Mitteøpunkt und seine Höhe in der Rotationsachse des Eøøipsoids øiegen. Berechne das Voøumen des Kegeøs! 913  Dem Eøøipsoid, das durch Drehung einer Eøøipse a um ihre große, b um ihre køeine Achse entsteht, soøø der voøumsgrößte Drehkegeø so eingeschrieben werden, dass seine Spitze im a Hauptscheiteø, b Neben- scheiteø øiegt. Berechne das Voøumen des Kegeøs! y x 0 x h a y = 2px X(x|y) y = r 160197-224 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv