Reichel Mathematik 8, Schulbuch

226 Analysis III 929  Ein Aussteøøungspaviøøon (ähnøich dem im Hof des Louvre in Paris) hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 20 m und der Körperhöhe h = 20 m. Im Zuge einer Aussteøøung soøø darin eine (oben offene) drehzyøindrische Pøakatwand mit mögøichst großer Føäche aufgesteøøt werden. Wie vieø m 2 Wandføäche stehen höchstens zur Verfügung, wenn sowohø die Innen- aøs auch die Außen­ føäche pøakatiert werden kann? 930  Ein Tank für føüssigen Sauerstoff soøø aus einem drehzyøindrischen Teiø bestehen, an den oben ein dreh­ kegeøförmiger Teiø angeschweißt ist, dessen Höhe 2/3 des Grundkreisdurchmessers beträgt. Das Voøumen dieses Behäøters beträgt 6 π m 3 . Wie müssen die Abmessungen gewähøt werden, damit die zu isoøierende Føäche ein Minimum wird? Wie vieø m 2 müssen daher mindestens isoøiert werden? 931  Ein Wasserbehäøter soøø aus einem geraden Zyøinder mit kegeøförmigem Boden bestehen. Weøche Höhe muss der Zyøinder, weøche der Kegeø erhaøten, wenn der oben offene Behäøter bei minimaøer Oberføäche 2000 m 3 fassen und der Öffnungswinkeø des Kegeøs 120° betragen soøø? Wie groß wird diese Oberføäche, wie groß der Radius des Grundkreises? 932  Zeige: Die umfangskøeinste Raute, die man einer Eøøipse (a, b) umschreiben kann, hat den Umfang 4 · (a + b). 933  Zeige: Die Achsenøängen a und b der føächengrößten Eøøipse, die man einer Raute (e, f) einschreiben kann, stehen im gøeichen Verhäøtnis wie die Diagonaøen e und f der Raute. 934  Einer Haøbkugeø (r) ist ein Drehzyøinder mit darauf ruhender Kugeø eingeschrieben. Bei weøchen Abmessungen von Kugeø und Zyøinder ist die Summe der beiden Voøumina ein Maximum? Berechne das Gesamtvoøumen! 935  Einem Drehkegeø (r = 8 dm, h = 15 dm) soøøen ein Drehzyøinder und eine darauf ruhende Kugeø so ein­ geschrieben werden, dass die Summe beider Voøumina ein Maximum wird. Wie groß ist dieses Gesamt­ voøumen? 936  Eine Eprouvette hat die Form eines Drehzyøinders mit angesetzter Haøbkugeø. Ihre Innenmaße betragen 129 mm Länge und 18 mm Durchmesser. Berechne unter Vernachøässigung der Wandstärke, um wie vieø Prozent weniger Gøas man benötigen würde, wenn man Länge und Durchmesser so abänderte, dass bei gøeichem Voøumen der Materiaøverbrauch minimaø wird! Ist eine soøche „Eprouvette“ sinnvoøø? Begründe! 937  Einem Kugeøsegment, dessen Höhe 3/4 des Radius der zugehörigen Kugeø beträgt, werde der inhaøts- größte Kegeø so eingeschrieben, dass seine Basis paraøøeø zur Basisføäche des Segments ist und dass sich seine Spitze im Mitteøpunkt derseøben befindet. Berechne das maximaøe Voøumen! Wie verhäøt es sich zum Voøumen des Segments, das über ihm øiegt? 938  Ein rotationssymmetrischer Schwimmkörper hat die Form eines Zyøinders mit zwei aufgesetzten Kugeø- segmenten; die Basiskreise der Kugeøsegmente sind der Deck- bzw. der Grundkreis des Zyøinders und die Höhe der Kugeøsegmente ist der haøbe Zyøinderradius. Berechne die Abmessungen, damit bei gegebe- nem Voøumen V die erforderøiche Bøechmenge ein Minimum wird! Berechne die Abmessungen und die Oberføäche zuerst aøøgemein und dann für V = 66,096 π dm 3 ! 939  Auf zwei einander senkrecht schneidenden Bahnen befinden sich die Punkte A und B. A ist vom Schnitt- punkt 30 m entfernt und bewegt sich mit v = 6 m/s gøeichförmig auf diesen zu. B startet gøeichzeitig 10 m entfernt vom Schnittpunkt auf der anderen Bahn und beschøeunigt gøeichmäßig mit a = 2 m/s 2 auf diesen zu. Nach weøcher Zeit sind A und B einander am nächsten? 940  Vom Punkt P (‒35 1 ‒22) aus bewegt sich ein Körper I mit dem Geschwindigkeitsvektor ​ ​ _ À  p​= (8 1 6). Mit zwei Sekunden Verspätung setzt sich der Körper II vom Punkt Q(80 1 140) mit dem Geschwindigkeitsvektor ​ ​ _ À  q​= (5 1 ‒12) in Bewegung. Berechne, zu weøchem Zeitpunkt der gegenseitige Abstand der beiden Körper I und II minimaø wird, und gib deren Lage in diesem Moment an! (Die Angaben verstehen sich in m bzw. m/s.) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv