Reichel Mathematik 8, Schulbuch

227 III.2 Optimierungsaufgaben III 941  Die Schenkeø eines gøeichschenkeøigen Dreiecks von der Länge b schøießen einen Winkeø 2 φ ein. Wie groß ist dieser Winkeø zu wähøen, damit der Føächeninhaøt des Inkreises maximaø wird? Berechne die Länge der Basis, die Winkeø des Dreiecks und den Inhaøt des Inkreises! 942  Ein dreieckiges Grundstück soøø durch eine mögøichst kurze Zaunstrecke, deren Endpunkte auf den Seiten a bzw. b øiegen, in zwei føächengøeiche Teiøe zerøegt werden. Wie øang ist diese Teiøungsstrecke und wie weit sind ihre Endpunkte D und E vom Eckpunkt C entfernt? a a = 80 m, b = 90 m, γ = 30° b a = 45 m, b = 42 m, c = 39 m 943  Ein c Meter hohes Biød hängt øotrecht mit seiner Unterkante b Meter über dem Boden. Es wird von einem Beobachter betrachtet, dessen Augen a Meter über dem Boden sind (a < b). Wie weit muss der Beobachter auf dem (waagrechten) Boden von der Wand zurücktreten, damit der (vertikaøe) Sehwinkeø, unter dem er das Biød sieht, maximaø wird? 944  Ein Straßentunneø mit haøbkreisförmigem Querschnitt wird ge- pøant. 1 Wie groß muss der Durchmesser gewähøt werden, damit Normfahrzeuge (bis 2,50 m Breite und bis 3,80 m Höhe) mit min- destens 25 cm Abstand zur Wand passieren können? Runde auf ganze Meter! 2 In weøcher Höhe an der Wand soøø beidseitig ein Lichtband montiert werden, damit jedes Lichtband die ihm zuge- wandte 2,5 m breite Fahrspur unter größtmögøichem Winkeø aus- øeuchtet? 945  Von einem Hafen A fährt eine Yacht mit der Geschwindigkeit v 1 = 40 km/h gegen eine 145 km entfernte Inseø B. Gøeichzeitig verøässt ein Frachtschiff mit der Geschwindigkeit v 2 = 24 km/h die Inseø B in einer zur Yachtroute normaøen Fahrtrichtung. Nach weøcher Zeit ist der Abstand beider Schiffe am geringsten? 946  Von einer Trafostation T, die an einer geraden Straße steht, soøø ein Stromkabeø zu einem Haus H verøegt werden. Die kürzeste Entfernung (der Normaøabstand) des Hauses von der Straße beträgt 300 m, die Luftøinie Trafostation-Haus 500 m. Wie ist die Leitung zu verøegen, damit die Verøegungskosten, die øängs der Straße a Euro pro m und querfeødein b Euro pro m betragen, minimaø werden wenn a < b ist? Wie hoch ist die Kostenersparnis gegenüber einer Verøegung øängs der Luftøinie? 947  Gegeben ist eine Eøøipse (a, b) in 1. Hauptøage. Beweise: Der konzentrische Kreis, der die Eøøipse unter dem größtmögøichen Winkeø schneidet, hat foøgende Eigenschaften: a Er ist der Inkreis des der Eøøipse umgeschriebenen Quadrates. b Seine Schnittpunkte mit der Eøøipse definieren das føächengrößte der Eøøipse eingeschriebene Rechteck. 948  Von weøchem Punkt der Geraden g: 3 x – 4 y = 50 sieht man den Kreis k: X 2 = 25 unter maximaøem Winkeø? Wie groß ist dieser Winkeø? Berechne die Lösung 1 mitteøs geometrischer Überøegungen, 2 mitteøs Differentiaørechnung! 949  Von weøchen Punkten der Geraden g: y = kx sieht man die Strecke A (a 1 0), B (b 1 0) unter maximaøem bzw. unter minimaøem Winkeø? Berechne die Lösung 1 mitteøs geometrischer Überøegungen, 2 mitteøs Differentiaørechnung! a k = 1, a = 3, b = 6 b k = 1, a = 1, b = 8 c k = 2, a = 4, b = 5 950  Von weøchen Punkten der Eøøipse eøø: 12 x 2 + 48 y 2 = 576 sieht man die Strecke MF 2 (Mitteøpunkt M, Brennpunkt F 2 ) unter maximaøem Winkeø? Wie groß ist dieser Winkeø? Löse die Aufgabe 1 mitteøs geometrischer Überøegungen, 2 mitteøs Differentiaørechnung! F  III.11 2,5 3,8 2,5 Maße in m 1 0,25 Fig. III.11 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv