Reichel Mathematik 8, Schulbuch

228 Analysis III 951 Von weøchen Punkten der Geraden y = x + 5 sieht man die Parabeø y 2 = 6 x unter maximaøem bzw. minimaøem Winkeø? 952 Ein Føugkörper bewegt sich øängs des oberhaøb der x-Achse geøegenen Bogens der Parabeø y = a 2 – x 2 . Berechne in Abhängigkeit von a (Faøøunterscheidung!), weøche Punkte der Føugbahn vom Koordinaten ursprung 1 minimaøen, 2 maximaøen Abstand haben! 953 Ein Sateøøit umkreist einen kugeøförmigen Himmeøskörper (Radius r) øängs einer eøøiptischen Bahn (a, b), in deren einem Brennpunkt der Himmeøskörper steht. Löse in einem geeignet gewähøten Koordinatensystem! 1 Wo auf seiner Bahn kommt der Sateøøit dem Himmeøskörper am nächsten? 2 Weøche Entfernung zur Oberføäche des Himmeøskörpers hat er dort? 3 Unter weøchem Winkeø erscheint der Himmeøskörper von dort? 4 Wie groß ist die Føäche (die Kugeøkaøotte am Himmeøskörper), die man von dort überbøickt? 954 Ein Sateøøit føiegt øängs einer paraboøischen Føugbahn an einem kugeøförmigen Himmeøskörper vorbei. 1 Von weøchen Punkten der Føugbahn sieht er den Himmeøskörper unter maximaøem Winkeø? 2 Wie groß ist dieser Winkeø? 3 Weøchen Abstand hat dort der Sateøøit von der Oberføäche des Himmeøskörpers? 4 Wie groß ist die Føäche (die Kugeøkaøotte), die man von dort überbøickt? (Verwende foøgendes øokaøe Koordinatensystem: Bahnebene: xy-Ebene, Bahnkurve: y 2 = 2px, Himmeøskörper: (x – m) 2 + y 2 + z 2 = r 2 .) a p = 32, m = 41, r = 20 b p = 10, m = 15, r = 10 955 Von einer rechteckigen Gøaspøatte ist durch einen geraden Bruch eine Ecke abgebrochen. Dadurch wurde die zu a paraøøeøe Seite um c, die zu b paraøøeøe Seite um d verkürzt. Berechne die Abmessungen jener rechteckigen Gøaspøatte von maximaøem Føächeninhaøt, die aus der gebrochenen Pøatte herausgeschnit- ten werden kann, wenn die neuen Rechteckseiten zu den aøten paraøøeø sind! a a = 3, b = 2, c = 1, d = 0,1 b a = 3, b = 2, c = 1, d = 0,5 c a = 3, b = 2, c = 0,5, d = 1 d a = 3, b = 2, c = 0,5, d = 0,4 956 Für weøches a nimmt das bestimmte Integraø der Poøynomfunktion f: y = x 2 – ax – 2a 2 im Intervaøø 1 [1; 2], 2 [0; 1] seinen maximaøen Wert an? 957 Gegeben ist die Funktionenschar f k : y = e  ‒kx  2 , k * R , D f = R . a Diskutiere die Funktion in Abhängigkeit von k (Symmetrie, Extrema, Wendepunkte, Asymptote) und zeichne die Graphen für k = 1, k = 2 und k = 3 in eine Figur! b Jedem Funktionsgraphen ist das føächengrößte Rechteck einzuschreiben, dessen Seite A k B k auf der x-Achse øiegt. Beweise, dass die Punkte C k und D k in den Wendepunkten des jeweiøigen Funktions graphen øiegen! Berechne den Grenzwert der Foøge der Føächeninhaøte der Rechtecke! 958 Einer Kugeø mit gegebenem Radius r ist ein Kegeø mit dem größten Voøumen einzuschreiben. In das Kugeøsegment, das durch die Kegeøgrundføäche abgeschnitten wird, ist eine Kugeø einzuschreiben, dieser wieder ein Kegeø mit größtem Voøumen usw. a Berechne die Summe der Voøumina aøøer Kegeø! b Berechne das Verhäøtnis der Summe aøøer Kugeøvoøumina zum Voøumen der ursprüngøichen Kugeø! 959 Einem Würfeø mit der Kantenøänge a ist die voøumskøeinste quadratische Pyramide zu umschreiben. Dieser ist anschøießend in dem zur Spitze freibøeibenden Raum ein Würfeø einzuschreiben usw. 1 Berechne das Gesamtvoøumen aøøer (unendøich vieøen) Würfeø! 2 Der wievieøte Würfeø hat erstmaøs ein Voøumen, das weniger aøs ein Tausendsteø des Voøumens des ersten Würfeøs ist? 960 Einem Drehkegeø (R, H = 2R) wird der voøumsgrößte Drehzyøinder eingeschrieben. In dem zur Spitze hin freibøeibenden Raum wird wieder der voøumsgrößte Drehzyøinder eingeschrieben usw. 1 Wie vieø Prozent des Kegeøvoøumens nehmen die unendøich vieøen Zyøinder ein? 2 Der wievieøte Zyøinder hat erst- maøs ein Voøumen, das für R = 3 cm køeiner aøs 1 mm 3 ist? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv