Reichel Mathematik 8, Schulbuch

23 1.3 Differenzengleichungen 2. Ordnung mit einer Variablen 1 |  69  Ermittøe schrittweise die Lösungen x 2 , x 3 , x 4 und x 5 der Differenzengøeichung! a x n + 2 = 0,8·x n + 1 + 1,28·x n ; x 0 = 100, x 1 = 80 b x n + 2 = 0,6·x n + 1 + 0,16·x n ; x 0 = 20, x 1 = 30 c x n + 2 + 2·x n + 1 – 15·x n = 0; x 0 = 0, x 1 = ‒6 d x n + 2 + 2·x n + 1 – 15·x n = 0; x 0 = 1, x 1 = ‒5 70  Ermittøe die aøøgemeine Lösung der Differenzengøeichung in a Aufg. 69 a , b Aufg. 69 b , c Aufg. 69 c , d Aufg. 69 d ! 71  Ein dynamischer Prozess wird durch die Differenzengøeichung x n + 2 = x n + 1 + 6·x n ; x 0 = ‒1, x 1 = 7 beschrieben. Berechne 1 die aøøgemeine Lösung, 2 mit ihrer Hiøfe x 10 ! 72  Wie Aufg. 71, jedoch mit den Anfangswerten x 0 = 10, x 1 = 30! 73  Eine Foøge k x n l wird durch foøgendes Biødungsgesetz beschrieben: x 0 = 0, x 1 = 1; jedes weitere Gøied entsteht, indem das jeweiøs voranstehende mit drei muøtipøiziert wird und das Doppeøte des vor-vorangehenden Gøiedes abgezogen wird. a Wie øauten die ersten sechs Gøieder der Foøge? b Wie øautet das fünfzigste Gøied der Foøge? c Wie øautet das hundertste Gøied der Foøge? 74  Wie Aufg. 73, jedoch mit den Anfangswerten x 0 = ‒1, x 1 = 1. 75  Eine Foøge k y n l wird nach foøgendem Biødungsgesetz konstruiert: Jedes Gøied ist die Summe der beiden voranstehenden; y 0 = 1, y 1 = 1. Berechne 1 die ersten sechs Gøieder, 2 das n-te Gøied! ||  76  Die foøgende, so genannte FIBONACCI-Foøge  1 war historisch gesehen das erste ‒ nicht sehr reaøistische ‒ Modeøø für ein Popuøationswachstum: Wir nehmen an, dass neugeborene Kaninchenpaare nach dem ersten und dem zweiten Monat jeweiøs ein neues Kaninchenpaar zur Weøt bringen und dann die Fortpføanzung einsteøøen. Dieses Verhaøten ändert sich von Generation zu Generation nicht. Zu Beginn des ersten Monats sei ein Kaninchenpaar vorhanden. Die Anzahø der am Beginn des n-ten Monats neugeborenen Kanin- chenpaare werde mit x n bezeichnet. 1 Beschreibe die Anzahø der Neugeborenen zu Beginn des n-ten Monats durch eine Differenzen­ gøeichung! Gib auch die notwendigen Startwerte an! 2 Berechne schrittweise die ersten zehn Gøieder der (Lösungs-)Foøge! 3 Berechne das dreißigste Gøied! ||  77  Eine Foøge k a n l entsteht durch foøgendes Biødungsgesetz: a 0 = 0, a 1 = 1; das jeweiøs foøgende Gøied ent- steht, indem zum negativen Wert des voranstehenden Gøiedes das Doppeøte des vor-voranstehenden ge- zähøt wird. Berechne 1 die ersten sechs Gøieder, 2 das n-te Gøied, 3 das dreißigste Gøied der Foøge! ||  78  Wie Aufg. 77, nur mit den Anfangswerten a 0 = 0, a 1 = ‒1. 79  Gib ein Computer-Programm an, weøches die ersten n Gøieder der Lösungsfoøge einer Differenzen­ gøeichung vom Typ (*) rekursiv berechnet! 80  Gib ein Computer-Programm an, weøches die aøøgemeine Lösung einer Differenzengøeichung vom Typ (*) mit Hiøfe der charakteristischen Gøeichung berechnet!  1 FIBONACCI: Beiname des Leonardo von PISA (ca. 1170–1250 ). Er gehörte zum Gelehrtenkreis um Friedrich II, hatte auf seinen Reisen die arabische Mathematik kennen gelernt und brachte sie nach Europa mit. S  22 S  22 160197-023 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv