Reichel Mathematik 8, Schulbuch

230 Analysis III 962  1 Begründe anhand von Fig. III.12 das übøicherweise S-förmige Aus­ sehen von Kostenkurven durch wirtschaftøiche Überøegungen, ins­ besondere, warum die Kostenfunktion stets eine streng monoton steigende Funktion ist! 2 Kennzeichne die Begriffe degressiv , pro­ gressiv und Kostenkehre mitteøs den bei Kurvendiskussionen übøichen mathematischen Begriffen! 3 Warum eignet sich aøs einfachstes Darsteøøungsmodeøø für einen S-förmigen Kostenverøauf eine Poøynom- funktion 3. Grades? 963  1 Steøøe die Kostenfunktion graphisch dar! 2 Spaøte sie in ihren fixen und variabøen Anteiø auf und zeichne deren Graphen ein! 2 Untersuche , wo die Kosten degressiv und wo sie progressiv wachsen! a K(x) = 4 x 3 – 60 x 2 + 400 x + 1000 b K(x) = x 3 + 9 x 2 + 50 x + 1000 c K(x) = x 3 + 60 x + 1500 d K(x) = x 3 + x 2 + 1000 964  Beweise, dass die Funktion K (x) = ax 2 + bx + c mit a, b, c > 0 eine Modeøøfunktion für einen überaøø progressiven Kostenverøauf ist und der Scheiteø der Parabeø øinks von der Kostenachse und unter den Fixkosten øiegt! Skizziere den aøøgemeinen Verøauf dieser Funktion! Die Gesamtkosten K (x) müssen über den Verkauf von x Stück hereingebracht werden. Um einen „ver- nünftigen Preis“ festlegen zu können, berechnet man jenen Teil der Gesamtkosten, der auf eines der x produzierten Stück entfällt: k (x) = K(x)/x . Dabei nennt man k(x) die Stückkostenfunktion und k die Kosten eines Gutes je Stück (Stückkosten). Die Produktionsmenge, bei der mit geringsten Stückkosten produziert wird, heißt Betriebsoptimum x opt  ; es gibt über k(x opt ) den kleinstmöglichen Preis an, für den man (gerade noch) kostendeckend produzieren kann. 965  1 Diskutiere die Kostenfunktion K(x) = ax 2 + bx + c mit a, b, c > 0, 2 die zugehörige Stückkostenfunktion k (x) und skizziere ihre Graphen! 3 Ermittøe das Betriebsoptimum und den køeinsten kostendeckenden Preis! 966  Wie Aufg. 965 für die Kostenfunktion K(x) = a · x 1,5 + c mit a, c > 0. 967  Zeige aøøgemein, dass den Stückkosten k (x) geometrisch die Steigung einer Geraden entspricht, die durch den Ursprung und den Punkt P (x 1 K (x)) geht! Wie øässt sich daher das Betriebsoptimum graphisch ermitteøn? 968  Zeige aøøgemein, dass im Betriebsoptimum giøt: K ’ (x) = k (x)! 969  Löse a Aufg. 965, b Aufg. 966 gemäß Aufg. 967! 970  Löse a Aufg. 965, b Aufg. 966 gemäß Aufg. 968! Als Gewinnschwellen (BEP … Break Even Point) bezeichnet man die Nullstellen der Gewinn­ funktion G = E – K ; sie trennen den Gewinnbe- reich vom Verlustbereich. E = p·x ist dabei der vom Preis p = p (x) und der Verkaufsmenge x ab­ hängige Erlös. Die Nullstellen der Erlösfunktion liefern bei x = 0 den (theoretisch) höchst­ möglichen Preis (Prohibitivpreis) und bei p = 0 die (theoretisch) größtmögliche Verkaufsmenge (Sättigungsmenge), also die Modellgrenzen. 971  Erkøäre und interpretiere die voranstehenden Informationen an Fig. III. 13! Fig. III.12 x 0 Kosten- kehre y degressiv progressiv A  962 Fig. III.13 x 0 E max x max K(x) G(x) Stück E(x) Mio. GE 10 2000 G max G max Tsd. GE p(x) Sättigungsmenge 10 Prohibitivpreis 160197-230 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv