Reichel Mathematik 8, Schulbuch

246 Stochastik IV 1030  In Mathematanien erreichen 50% der Schüøer der 1. Køassen eines Gymnasiums die Matura ohne Wieder- hoøung einer Køasse; 4% davon hatten in der 1. Køasse mehr aøs ein Genügend. Weitere 15% der Schüøer der 1. Køassen erreichen ebenfaøøs die Matura, mussten aøøerdings mindestens eine Køasse wiederhoøen; von diesen Schüøern hatten 20% mehr aøs ein Genügend im Zeugnis der 1. Køasse, während von den Schüøern, die die Matura nicht schafften, bereits 80% mehr aøs ein Genügend im Zeugnis der 1. Køasse hatten. a Berechne die Wahrscheinøichkeit dafür, dass ein Schüøer in der 1. Køasse mehr aøs ein Genügend im Zeugnis hat! b Berechne 1 die Wahrscheinøichkeit dafür, dass ein Schüøer maturiert, ohne eine Køasse zu wieder­ hoøen, wenn er in der 1. Køasse mehr aøs ein Genügend hatte, 2 die Wahrscheinøichkeit, dass ein Schüøer nicht maturiert, wenn er in der 1. Køasse bereits mehr aøs ein Genügend hatte! 1031  Es sei die Bevöøkerung von vier verschiedenen Landstrichen mit 10000, 30000, 20000 und 10000 angege- ben. Ein gewisses Merkmaø A tritt dort der Reihe nach erfahrungsgemäß mit den reøativen Häufigkeiten 3%, 5%, 8% und 4% auf. a Unter den 70000 Personen wird zufäøøig eine Person ausgewähøt. Mit weøcher Wahrscheinøichkeit besitzt die ausgewähøte Person das Merkmaø A? b Aus weøchem der vier Landstriche kommt eine Person, die das Merkmaø A besitzt, mit der größten Wahrscheinøichkeit? c Wie vieøe Personen müssen von den 70000 Personen ausgewähøt werden, damit mindestens eine mit einer Wahrscheinøichkeit von mindestens 90% das Merkmaø A besitzt? Regressionskurven und Korrelationskoeffizient 1. Punktwolken und lineare Regression Gemäß der in Fig. IV.6 dargestellten Punktwolke besteht zwischen der Körpergröße x und dem Gewicht (der Masse) y von Menschen ein unübersehbarer Zusammenhang. Obwohl dieser offensichtlich nicht den Forderungen an eine Funktion genügt – Begründe! –, modelliert man ihn (aus Bequemlichkeit) dennoch gerne durch eine Funktion y = f (x) bzw. x = g (y) . Wie Fig. IV.6 vermuten lässt ist es meist ungünstig, als Modellfunktion eine Funktion zu ver- wenden, deren Graph möglichst viele Punkte der Punktwolke „auffädelt“. Viel günstiger ist eine Funktion, welche den „Trend“ in der Punktwolke widerspiegelt. Den Graphen einer solchen Funktion nennt man Regressionskurve (Ausgleichskurve). Der einfachste Fall einer Regressionskurve ist eine Gerade; dh., man beschreibt die Abhängigkeit der Größe y von x durch eine lineare Funktion y = k x + d . Offen bleibt dabei, welche Gerade man als Regressionsgerade wählen soll. Eine Möglichkeit besteht darin, die Regressionsgerade „mit Augenmaß“ in die Punktwolke einzupassen und k und d aus der Zeichnung abzulesen. Dabei erhalten verschiedene Personen jedoch im Allgemeinen verschiedene Ergebnisse. Will man jedoch eine eindeutig bestimmte Regressionsgerade, so muss man ein geeignetes Verfahren bzw. eine Formel angeben. Aus gewissen Gründen verwendet man: Satz Formeø der Regressionsgeraden (nach GAUSS): Die Koeffizienten k und d der Regressionsgeraden y = kx + d der Punktwoøke (x i 1 y i ), i = 1, … , n werden ermitteøt gemäß k = ​  ​  1 _ n ​·​ ;  i = 1 ​  n ​(x i  – ​ _ x​)·(y i  – ​ _ y​)​ ___________  ​  1 _ n ​·​ ;  i = 1 ​  n ​(x i  – ​ _ x​) 2 ​ ​  d = ​ _ y​– k·​ _ x​   ​ _ x​… arithmetisches Mitteø der x i ​ _ y​… arithmetisches Mitteø der y i IV.3 Fig. IV.6 y 0 x A  1032 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv