Reichel Mathematik 8, Schulbuch

247 IV.3 Regressionskurven und Korrelationskoeffizient IV Bemerkungen: 1) Den Ausdruck   1 _  n · ;  i = 1   n (x i  –  _ x)·(y i  –  _ y) nennt man Kovarianz von x und y und schreibt dafür σ xy ; als Kurzschreibweise für die obige Formel erhält man daher: k =   σ xy __ σ x 2 Die Kovarianz σ xy ist ebenso wie die Varianz σ x 2 auf einigen Taschenrechnern „auf Tastendruck“ verfügbar (weshalb in der Formel der Faktor 1/n nicht weggekürzt wurde). Auch die Koeffizienten k und d der Regressionsgeraden sind auf manchen Taschenrechnern unmittelbar „auf Tastendruck“ verfügbar. 2) Die Regressionsgerade geht immer durch den Punkt ( _ x 1 _ y) , den so genannten Schwerpunkt der Punktwolke (vgl. die Definition von d ). 3) Mit Hilfe der Regressionsgeraden kann man zu jedem gegebenen x den zugehörigen y -Wert schätzen ; man bezeichnet diesen Schätzwert meist mit   ˆ  y . Umgekehrt kann man analog zu jedem y den zugehö- rigen x -Wert schätzen ; man bezeichnet diesen Schätzwert meist mit   ˆ  x . Beispiel B Die foøgende Tabeøøe steøøt die Körpermasse und die Körpergröße von 10 Personen gegenüber. Beschreibe den Zusammenhang durch die Regressionsgerade! Körpergröße x (in cm) 170 176 165 171 177 167 179 185 175 180 Körpermasse y (in kg) 68 70 67 78 83 60 77 89 77 76 Lösung: Fasst man x und y aøs (erwartungsgemäß) abhängige (zufäøøige) Größen auf und trägt die Mess ergebnisse in ein Koordinatensystem ein, so erhäøt man eine Punktwoøke, die ersichtøich einen (ungefähr) øinearen Trend erkennen øässt (Figur). Die Gøeichung der Trendgeraden berechnet man gemäß der obigen Formeø. Steht kein Taschenrechner oder Computer dafür zur Verfügung, so behiøft man sich mit einer Tabeøøe und dem STEINER‘schen Verschiebungssatz (vgø. S.171). i x i y i x i 2 x i ·y i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 170 176 165 171 177 167 179 185 175 180 68 70 67 78 83 60 77 89 77 76 28900 30976 27225 29241 31329 27889 32041 34225 30625 32400 11560 12320 11055 13338 14691 10020 13783 16465 13475 13680 Summe 1745 745 304851 130387 ·  1 __  10  w _ x= 174,5 _ y= 74,5 30485,1 13038,7 σ x 2 =   1 _  n · ;  i = 1   n x i 2  –  _ x 2 = 30485,1 – 174,5 2 = 34,85 und σ xy =   1 _  n · ;  i = 1   n x i y i  –  _ x· _ y= 13038,7 – 174,5·74,5 = 38,45 k =   σ xy __  σ x 2 =   38,45 ____ 34,85 = 1,10 und d = _ y– k· _ x= 74,5 – 1,10·174,5 = ‒118,0 Die Gøeichung der (grün eingezeichneten) Regressionsgeraden øautet daher y = 1,10 x – 118,0. A 1032 x y 60 0 160 70 80 90 170 180 Größe Masse 160197-247 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv