Reichel Mathematik 8, Schulbuch

248 Stochastik IV 2. Der (lineare) Korrelationskoeffizient Fig.IV.7a x y g 0 f Fig.IV.7b x y 0 f g Fig.IV.7c x y 0 Fig.IV.7d x y 0 Ob es sinnvoll ist, den Zusammenhang zwischen x und y durch eine Regressions- Gerade zu modellieren – möglich ist es ja immer! – hängt von der Gestalt der Punktwolke ab. In Fig. IV.7 a und b ist dies „rein op- tisch“ offenbar der Fall, in Fig. IV.7 c und d ist dies eher nicht der Fall. Die Beurteilung der Sachlage kann aber von Person zu Person verschieden sein. Um ein einheitliches Urteil zu erreichen, wurde ein „Maß“ r xy definiert, das „misst“, wie stark die Punktwolke um die Regressionsgerade verstreut liegt. Die Idee dabei ist die folgende: Den Zusammenhang zwischen x und y kann man auf zweierlei Weise beschreiben – als Abhängigkeit y = f (x) und als Abhängigkeit x = g (y) . Im Fall linearer Modellfunk­ tionen f und g hat man zwei Regressionsgeraden, die sich im Fall eines exakt linearen Zusammen­ hanges zwischen x und y überdecken. Im allgemeinen Fall werden die beiden Geraden aber eine „Schere“ bilden, deren Öffnungswinkel umso größer sein wird, je weniger der „wahre“ Zusammenhang ein linearer ist. Gemäß Fig. IV.7 a und b gilt: Je besser die Steigung k y mit 1/k x übereinstimmt, dh. je ge- nauer k x ·k y  = 1 gilt, umso eher besteht ein linearer Zusammenhang. Setzt man für k x und k y aus der For- mel für die Regressionsgerade ein, so erhält man: k x ·k y = ​  σ xy ___ σ x 2 ​·​  σ yx __ σ y 2 ​ Wegen σ xy = σ yx – Begründe anhand der Formeø! – erhält man: k x ·k y = ​  σ xy 2 _____  σ x 2 · σ y 2 ​ Aus Dimensionsgründen zieht man die Wurzel und gibt die Definition Aøs (øinearen) Korreøationskoeffizienten bezeichnet man die Zahø r xy = ​  ​  1 _ n ​·​ ;  i = 1 ​  n ​(x i  – ​ _ x​)·(y i  – ​ _ y​)​ ________________   ​ 9 __ __ ​  1 _  n ​·​ ;  i = 1 ​  n ​(x i  – ​ _ x​) 2 ​ ​·​ 9 __ __ ​  1 _ n ​·​ ;  i = 1 ​  n ​(y i  – ​ _ y​) 2 ​ ​ ​= ​  σ xy ____  σ x · σ y ​ Bemerkung: r xy ist stets eine Zahl aus [‒1; 1] . Begründe ! Beispiel B (Fortsetzung) Berechne den Korreøationskoeffizienten! Lösung:  r xy = ​  σ xy ____  σ x · σ y ​= ​  38,45 _________  ​ 9 ____ 34,85​·​ 9 _ 63,85​ ​≈ 0,815 Da 0,815 nahe 1 ist, øässt sich der Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht ziemøich gut durch einen øinearen Zusammenhang modeøøieren. Man sagt: Körpergröße und Körpergewicht sind (ziemøich gut) øinear korreøiert. Da einer Zunahme (Abnahme) der einen Größe auch eine Zunahme (Abnahme) der anderen Größe entspricht, sagt man genauer: Körpergröße und Körpergewicht sind (ziemøich gut) positiv øinear korreøiert. 3. Nichtlineare Regression Ist der Korrelationskoeffizient von +1 bzw. ‒ 1 deutlich verschieden, so ist es nicht sinnvoll, den Zusam- menhang durch eine lineare Funktion zu modellieren. A  1033 160197-248 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv