Reichel Mathematik 8, Schulbuch

249 IV.3 Regressionskurven und Korrelationskoeffizient IV An deren Stelle kann man zB eine Polynomfunktion 2. Grades ( Re- gressionsparabel ) oder sogar eine andere Funktionenklasse ver- wenden. Für eine „Wolke“ von Messergebnissen wird sich aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes zB die GAUSS’sche Glockenkurve an- bieten, bei Wachstumsprozessen zB eine Exponentialfunktion, bei pe- riodischen Vorgängen (Schwingungen) eine verallgemeinerte Sinus- funktion y = a·sin (b·(x + c)) . Das „optimale Einpassen“ der Funktion kann dabei wieder „nach Au- genmaß“ geschehen oder aber durch rechnerische Verfahren. Für Letzteres muss man das Optimalitätskriterium ausdrücklich und for- mal angeben. Das für die Praxis wichtigste Kriterium geht auf GAUSS zurück. Es verlangt, dass die Summe der Quad- rate der Differenzen y i –   ˆ  y i minimal wird und heißt Methode der kleinsten Quadrate . Die Lösung dieser Optimierungsaufgaben ist allerdings schwierig, sodass wir sie nur für den Fall der linearen Re- gression durchführen . 1032 Erøäutere die Herøeitung der Formeø für die Regressionsgerade (in Form eines Kurzreferates)! z = ;  i = 1   n (d + kx i  – y i ) 2 ¥ Minimum = ;  i = 1   n (d + kx i  – y i – (d + k _ x–  _ y) + (d + k _ x–  _ y) ) 2 = ;  i = 1   n (k (x i  –  _ x)– (y i  –  _ y) + (d + k _ x– _ y)) 2 = = ;  i = 1   n (k (x i  –  _ x)– (y i  –  _ y)) 2 + 2 (d + k _ x– _ y)· “  k· ;  i = 1   n (x i  –  _ x)– ;  i = 1   n (y i  –  _ y)  § + ;  i = 1   n (d + k _ x– _ y) 2 = = ;  i = 1   n (k·(x i  –  _ x)– (y i  –  _ y)) 2 + (d + k _ x– _ y) 2 Nun ist (d + k _ x– _ y) 2 dann minimaø (nämøich 0), wenn d = _ y– k _ xist, sodass wir nur mehr jenes k bestimmen müssen, für das z (k) = ;  i = 1   n (k (x i  –  _ x)– (y i  –  _ y)) 2 minimaø wird. Wie gewohnt differenzieren wir nach k und setzen die Abøeitungsfunktion nuøø:   dz __ dk = 2· ;  i = 1   n (k (x i  –  _ x)– (y i  –  _ y))·(x i  –  _ x) w 0 = 2 k· ;  i = 1   n (x i  –  _ x) 2 – 2· ;  i = 1   n (x i  –  _ x)(y i  –  _ y) = 2 k·n· σ x 2 – 2·n· σ xy , aøso k =   σ xy __ σ x 2 . Mitteøs der 2. Abøeitung kann man zeigen, dass wirkøich ein Minimum vorøiegt. 1033 Begründe durch Vergøeich der Definition des Korreøationskoeffizienten mit der VW-Formeø (vgø. Buch 6. Kø. S. 18), dass ‒1 ª r xy ª 1 giøt! 1034 10 Kinder erreichen bei einem Schreibtest bzw. Lesetest die Punktezahøen x i bzw. y i . 1 Zeichne die zugehörige „Punktwoøke“ samt deren „Schwerpunkt“! 2 Berechne die Hauptform der Gøeichung der Regressionsgeraden und zeichne deren Graphen ein! 3 Berechne den Korreøationskoeffizienten r xy ! Was sagt er aus? 4 Gibt es Kinder, die stark „aus der Reihe“ faøøen? Was besagt das? 5 Ein Kind hat beim Schreibtest 9 Punkte erreicht, den Lesetest aber versäumt. Weøche Punktezahø ist für den nachzuhoøenden Lesetest zu erwarten? Weøche Voraussetzung muss man dabei machen? 6 Ein Kind hat beim Lesetest 15 Punkte erreicht, den Schreibtest aber versäumt. Weøche Punktezahø ist für den nachzuhoøenden Schreibtest zu erwarten? Weøche Voraussetzung muss man dabei machen? a x i 2 4 7 9 10 12 13 15 16 19 y i 3 4 9 12 12 14 16 17 18 20 b x i 3 5 7 7 12 12 16 18 19 20 y i 3 4 7 8 11 10 17 18 20 20 Fig.IV.8 x y y 0 y i –y i F IV.8 F IV.8 A 1032 0 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv