Reichel Mathematik 8, Schulbuch

27 1.4 Rückblick und Ausblick 1 näher als ein im Programm vorgegebenes sehr kleines ε ) an die zugehörige Nullstelle der Gleichung x 3  – 1 = 0 „heranzukommen“. Besonders interessant sind die Bassinränder. Es sind dies „selbstähn liche“ Mengen. Dh.: Wenn man ein kleines Stück herausnimmt und vergrößert (mit dem Computer „hin- einzoomt“), sieht das kleine Stück wieder genauso aus wie der ganze Rand. Und diese Eigenschaft setzt sich theoretisch „ad infinitum“ („bis in alle Ewigkeit“), fort. Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Fraktale, wie hier eben das NEWTON-Fraktal . Fraktale gehören zu den aktuellen Untersuchungsobjekten der Mathematik und Physik. Seit einigen Jahren weiß man, dass Fraktale nicht nur in der Mathematik auftreten, sondern auch an vielen anderen und überraschenden Stellen der Natur: zB der Rand der Schneeflocke oder anderer kristalliner Figuren. Auch Blitze stellen in gewisser Weise Fraktale dar oder der (idealisierte) Rand von Farngewächsen . Fig. 1.25 zeigt ein als LICHTENBERG-Figur bekanntes elektrisches Entladungsmuster, Fig. 1.26 zeigt eine Zinkablagerung in einer elektrolytischen Zelle. Fig. 1.26 Fig. 1.25 Fig. 1.24 Fig. 1.23 3. Differenzengleichungen und Differentialgleichungen gegenüberstellen können Im ganzen Kapitel hatten wir es bisher mit zeitlich veränderlichen Prozessen zu tun, wobei die Zeit allerdings in „diskrete“ Beobachtungsintervalle (Beobach- tungsperioden) geteilt war: [ t 0 ;  t 1 ], ] t 1 ;  t 2 ], ] t 2 ;  t 3 ], … Wir haben die zeitlich verän- derlichen Größen zu ganz bestimmten festen Zeitpunkten gemessen. Die in die- sem Sinne „diskreten“ Prozesse konnten wir durch Differenzengleichungen beschreiben. Wenn nun diese Zeitintervalle ] t n ;  t n + 1 ] immer kleiner und kleiner werden, geht die Zeit letztlich in einen kontinuierlich veränderlichen Para- meter t über ( t * R + ). Die beobachtete Systemgröße x ist nun nicht mehr durch eine Folge k x n l beschreibbar, sondern durch eine reelle Funktion x = x (t) t * R + . Zur Beschreibung der in der Zeit t ablaufenden Pro- zesse dienen nun nicht mehr Differenzengleichungen , sondern so genannte Differentialgleichungen . Das sind Gleichungen, die neben t (und x ) auch die Ableitung x’ der unbekannten Größe x = x (t) enthalten. Ein kleines Beispiel zur Begriffsbildung (mehr darüber in Kap. 2.2): Wir halten uns an Fig. 1.28: Eine Größe x – zB die Anzahl einer gewissen (Tier-)Population – verändert sich mit der Zeit t . Wenn die Zeit diskret in „Sprüngen“ Δ t verläuft, so beschreibt der Differenzenquotient Δ x/ Δ t den Zuwachs (besser: die Veränderung) der Individuenanzahl während der Zeit Δ t . (In allen bisherigen Beispielen war Δ t = 1 und somit Δ x = x n + 1 – x n .) Wenn nun Δ t gegen 0 strebt, dann strebt der Differenzenquotient Δ x/ Δ t gegen den Differentialquotienten dx/dt = x’ (t) . Im VERHULST-Modell war Δ t = 1 , also   Δ x  __  Δ t =   x n + 1 – x n _____ 1  = x n + 1 – x n . Für a = 1 ist   x  n + 1 – x  n _____  x  n   = r·(1 – x n ) , also   Δ x/ Δ t ____ x (t)  = r·(1 – x (t)) . Für Δ t ¥ 0 ergibt sich   x ’ (t) ___ x (t) = r·(1 – x (t)) , also x ’ (t) = r·x (t) – r·x 2 (t) . Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! F 1.23 F 1.24 Fig. 1.27 x diskret kontinuierlich F 1.27 F 1.27 Fig. 1.28 t dx Δ x Δ t = x = x(t) dt + Δ t t 0 t 0 0 x S 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv