Reichel Mathematik 8, Schulbuch

279 Integralrechnung Kompetenzcheck – Lösungen 2 Durch Ausmuøtipøizieren: :   x·(x  2 – 2) dx= :   (x  3 – 2 x) dx=   x  4 __  4 – x  2 + c Nach dem Ausmuøtipøizieren: Summen- und Konstantenregeø oder aber partieøøe Integration oder Integration durch Substitution 309 Die Stammfunktion F mit c = 0 verøäuft in [a; b] ebenfaøøs unterhaøb der x-Achse F ist auf [a; b] streng monoton wachsend :  b   a f(x) dx gibt den Føächeninhaøt zwischen Graph und x-Achse an :  a   b f(x) dx > 0 Für einen Wert d mit a < d < b giøt: :  a   b f(x) dx = :  a   d f(x) dx + :  d   b f(x) dx 310‒311: Gegeben waren die Funktionsgraphen f, g, h und k. 1 0 1 0,54 x y y = cos x h k 2 π e x1 2 y = 1 0 1 x y x 3 2 ‒3x 2 +4x g g(x) y = 1 0 1 x y f f(x) x 3 + 1 ‒2x +8 y = y = 1 Trapez A 1 =   (f(0) + f(3))·3 ________  2  =   (1 + 2)·3 _____  2  =   9 _ 2 Dreieck: A 2 =   f(3)·1 ____  2  =   2·1 ___  2  = 1 A = A 1 + A 2 = 5,5 2 A = :  0   3 “    x _  3 + 1  § dx+ :  3   4 (‒2 x + 8) dx= “    x  2 __  6 + x  § ! 3 0 + (‒x  2 + 8 x) ! 4 3 = 4,5 + 16 – 15 = 5,5 310 1 :  0   4 g(x) dx = 0 2 Weiø die Kurve in ]2; 4[ unterhaøb der x-Achse verøäuft, ist A = :  0   2 g(x) dx + †  :  2   4 g(x) dx  † . 3 :  0   1 g(x) dx = :  0   1 “    x  3 __  2 – 3x  2 + 4 x  § dx= “    x  4 __  8 – x  3 + 2 x  2   § ! 1 0 =   1 _  8 – 1 + 2 =   9 _ 8 4 :  0   2 g(x) dx < 3 (weiø im Rechteck 2 × 1,5) :  0   4 g(x) dx = 0 :  0   2 g(x) dx = †  :  2   4 g(x) dx  † > :  0   4 g(x) dx :  0   2 g(x) dx > :  0   3 g(x) dx > :  2   4 g(x) dx :  0   0,54 “  cosx –   1 _ 2 e  x   § dx + :  0,54   π /2 “    1 _ 2 e  x – cosx  § dx= “  sinx –   e  x __  2   § ! 0,54 0 + “    e  x __  2 – sinx  § ! π /2 0,54 = 1,22 311 ___ f (x)= 5,5/4 = 1,375 x * [0; 4] ___ g (x)= 0 x * [0; 4] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv