Reichel Mathematik 8, Schulbuch

2 33 2.1 Stammfunktionen – Das unbestimmte Integral Stammfunktionen – Das unbestimmte Integral 1. Die Begriffe Integral und Stammfunktion verstehen Den Begriff Stammfunktion haben wir schon in der 7. Klasse geprägt für jene Funktion, von der die Ab- leitung gebildet wurde, also abstammt . In Bezugnahme darauf geben wir die Definition Gegeben sei eine Funktion f: y = f (x) auf einem Definitionsintervaøø D. Eine Funktion F heißt Stamm- funktion der Funktion f, wenn F’ (x) = f (x) für aøøe x * D. Das Aufsuchen einer Stammfunktion heißt Integrieren . Was meinst du: Kann man jede Funktion integrieren? Die Frage kann man in zweierlei Weise auffassen: Erstens: Besitzt jede Funktion überhaupt eine Stammfunktion? Die Antwort darauf lautet nein . Die weitergehende Frage, welche Funktionen jedenfalls Stammfunkti- onen besitzen, wird uns noch beschäftigen. Zweitens: Gibt es für jede Funktion, die eine Stammfunktion besitzt, eine Integrationsmethode , welche eine Stammfunktion liefert? Wieder ist die generelle Antwort nein, obwohl es solche Methoden für „einfache“ Funktionen natürlich – wie wir gleich sehen werden – gibt. Beispiel A a Begründe, warum die Funktionen 1 F 1 (x) = 1/3·x 3 , 2 F 2 (x) = 1/3·x 3 + 1 und 3 F 3 (x) = 1/3·x 3 + c (c * R beøiebig) Stammfunktionen der Funktion f (x) = x 2 sind! b Begründe diesen Sachverhaøt 1 rechnerisch, 2 geometrisch anhand der Figur! Lösung: a F’ 1 (x) = F’ 2 (x) = F’ 3 (x) = 1/3·3 x 2 = x 2 . Jede dieser Funktionen ist eine Stammfunktion der Funktion f (x) = x 2 . Die Funktion f hat aøso mehrere, sogar unendøich vieøe Stammfunktionen, denn c war ja eine beøiebige reeøøe Zahø. b (F (x) + c)’ = F’ (x) + 0 = f (x), weiø ja jede additive Konstante beim Differenzieren verschwindet. Geometrisch gesagt: Da der Graph von F (x) + c aus dem Graphen von F (x) durch eine Schiebung um c øängs der y-Achse hervorgeht, besitzen die Funktionsgraphen bei jedem x 0 * D jeweiøs paraøøeøe Tangenten; die Steigung entsprechender Tangenten ist aøso dieseøbe . Die Steigung der Tangente an F (x) bei x 0 ist aber gerade F’(x 0 ) = f (x 0 )! In Verallgemeinerung von Beispiel A ergibt sich (zur Umkehrung vgl. Aufg. 121) der Satz Mit jeder Stammfunktion F (x) einer gegebenen Funktion f (x) ist auch jede Funktion F (x) + c (c * R ) Stammfunktion der Funktion f. Umgekehrt: Außer F (x) + c gibt es keine weiteren Stammfunktionen von f. Dh.: Zwei verschiedene Stammfunktionen F 1 (x) und F 2 (x) einer gegebenen Funktion f (x) unterscheiden sich nur um eine additive Konstante c. 2.1 AN 3.1, AN 3.2 A  122 c 1 c x y 1 0 1 F 1 (x) F 2 (x) = F 1 (x) + 1 F 3 (x) = F 1 (x) + c x 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv