Reichel Mathematik 8, Schulbuch

34 Integralrechnung 2 Der letzte Satz motiviert die Definition Gegeben sei eine Funktion f: y = f (x). Wenn f (x) eine Stammfunktion F (x) besitzt, bezeichnen wir die Menge aøøer Stammfunktionen y = F (x) + c (c * R ) aøs das unbestimmte Integraø der Funktion f. Wir schreiben: ∫f·dx oder ∫f (x)·dx und sprechen: „Integraø von f dx“ oder „Integraø von f von xdx“. f (x) heißt in diesem Zusammenhang der Integrand , c heißt Integrationskonstante . Bemerkungen: 1)  Das Integralzeichen ∫ möge uns an ein großes S für „ S tammfunktion“ erinnern, das Symbol „ dx “ dar- an, dass „nach x “ integriert wird  1 . Einen genaueren Grund für diese Schreibweise werden wir spä- ter kennen lernen. 2)  Wenn nach einem unbestimmten Integral gefragt wird, dürfen wir niemals die Integrationskonstante vergessen. Sie wird im Allgemeinen mit c bezeichnet. Gibt man c einen speziellen Wert, so erhält man eine (die zu c gehörige) Stammfunktion von f . Solange c nicht bestimmt ist, ist auch die Stammfunktion noch unbestimmt ; daher der Name unbestimmtes Integral . 2. Wichtige Stammfunktionen wissen und unbestimmte Integrale berechnen Beispiel B Beweise die øinks stehenden „ Grundintegraøe “! Lösung: Zum Beweis differenzieren wir: 1) ​ : ​  ​dx​= ​ : ​  ​1​·dx = x + c w y’ = 1 2) ​ : ​  ​0​·dx = c w y’ = 0 3) ​ : ​  ​n​·x n –1 ·dx = x n + c n * N * w y’ = n·x n – 1 4) ​ : ​  ​x​  α ​ ·dx = ​  ​x​  α + 1 ​ ___  α + 1 ​+ c  α ≠ ‒1 w y’ = x α 5) ​ : ​  ​x​  ‒1 ​·dx = ​ : ​  ​  1 _  x ​·dx = øn † x † + c  x > 0: y = ønx w y’ = ​  1 _ x ​  x < 0: y = øn (‒x) w y’ = ​  1 __  ‒x ​·(‒1) = ​  1 _ x ​ 6) ​ : ​  ​sinx​·dx = ‒cos x + c w y’ = sinx 7) ​ : ​  ​cos x​·dx = sinx + c w y’ = cos x 8) ​ : ​  ​tanx​·dx = ‒øn † cos x † + c w y’ = ​  ‒1 ___  cosx ​·(‒sinx) = tanx 9) ​ : ​  ​cot x​·dx = øn † sinx † + c w y’ = ​  1 ___  sinx ​·cos x = cot x 10) ​ : ​  ​e​  x ​·dx = e x + c w y’ = e x 11) ​ : ​  ​a​  x ​·dx = ​  ​a​  x ​ ___  øna ​+ c a * R w y’ = ​  ​a​  x ​·øna ____ øna  ​= a x 12) ​ : ​  ​ønx​·dx = x·ønx – x + c w y’ = 1·ønx + x·​  1 _ x ​– 1 = ønx 13) ​ : ​  ​ a ​øogx·dx = ​  1 ___  øna ​·(x·ønx – x) + c w y’ = ​  1 ___  øna ​·​ “ 1·ønx + x·​  1 _  x ​– 1  § ​=      wobei a * R + \{1} = ​  1 ___  øna ​·ønx = a øogx Versuche zu erkøären, wie diese Grundformeøn zustande kommen! Die meisten der Formeln ergeben sich unmittelbar durch „Umkehren“ dir bereits bekannter Ableitungs- regeln für bestimmte Funktionen.  1 Demgemäß sind ​ : ​  ​a​·x 2 ·dx = a·x 3 /3 + c und ​ : ​  ​a​·x 2 ·da = x 2 ·a 2 /2 + c zwei völlig verschiedene Integrale. S  62 S  114 AN 4.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv