Reichel Mathematik 8, Schulbuch

35 2.1 Stammfunktionen – Das unbestimmte Integral 2 Nur die Formeln 8) und 9) sowie 12) und 13) machen hier eine Ausnahme. Wie man diese Formeln fin- det, werden wir in Kap. 2.3 erfahren. Zum Nachweis der Formeln haben wir differenziert, weil ja das Integrieren (dh. das Aufsuchen der Stammfunktionen) die Umkehrung des Differenzierens ist. Die Integ- rationskonstante c verschwindet beim Differenzieren. Mit diesen Grundintegralen und den folgenden beiden Regeln, die sich unmittelbar aus den entspre- chenden Rechenregeln für das Differenzieren und der Definition des unbestimmten Integrals ergeben – Begründe! – kannst du dann alle Polynome und die meisten anderen häufig auftretenden Funktionen integrieren. Regel Summen- und Differenzenregeø: Das Integraø der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist gøeich der Summe (Differenz) der beiden Integraøe: :   “ f (x) ± g (x)  § ·dx = :   f(x)·dx ± :   g (x)·dx Kurz: Summen und Differenzen werden gøiedweise integriert. Regel Konstantenregeø: Einen konstanten Faktor im Integranden kann man vor das Integrationszeichen ziehen: :   k·f (x)·dx = k· :   f(x)·dx Das gliedweise Integrieren darf nur bei Summen und Differenzen von Funktionen angewandt werden, nicht aber bei Produkten und Quotienten von Funktionen ! Für die Integration von Produkten, Quo tienten und Verkettungen von Funktionen stehen – anders als beim Differenzieren – keine allgemeinen, stets zum Ziel führenden Verfahren bereit. Zwar gibt es Methoden, die sozusagen die „Umkehrung“ der Produktregel und der Kettenregel der Differentialrechnung sind , aber sie müssen eben nicht immer zielführend sein. Auch Computer bzw. CAS-fähige Taschenrechner können das Problem nicht aus der Welt schaffen, weil sie Stamm- funktionen nach eben diesen (und weiteren, in diesem Buch nicht behandelten) algebraischen Methoden ermitteln (versuchen). Deshalb gibt es große Tafelwerke (zB das zweibändige Werk „Integraltafeln“ von GRÖBNER-HOFREI- TER) oder neuerdings elektronische Datenbanken und Formelsammlungen , wo die Stammfunktionen von vielen komplizierten, Formvariablen enthaltenden Funktionen aufgelistet sind. Gefunden wurden diese zumeist so wie un- sere Tafeln von Grundintegralen , nämlich auf „umge- kehrtem“ Weg. Erkøäre! Demgemäß geht man in der Praxis – und wir orientieren uns daran – wie folgt vor: Unkomplizierte Integrale (wie die in diesem Kapitel behan- delten) kann man mit einfachen Umformungen auf Grund- integrale zurückführen. Für kompliziertere Integrale be- dient man sich des Computers oder CAS-tauglichen Taschenrechners oder wendet Methoden an, wie wir sie in Kap. 2.3 besprechen werden. Ist man damit nicht erfolg- reich, so versucht man die exakten Lösungen in (elektroni- schen) Tafelwerken nachzuschlagen oder muss sich mit nu- merisch ermittelten Näherungslösungen begnügen. A 91 A 92 K 2.3 Fig. 2.2a (1) :   (ax + b)  n dx =   (ax + b)  n + 1 ______ a(n + 1)  n * (2) :    dx ____  ax + b  =   1 _ a øn † ax + b † (3) :  x(ax + b)  n dx =   (ax + b)  n + 2 ______  a  2 (n + 2)  –   b (ax + b)  n + _______ a  2 (n + 1)  n ≠ ‒1, ‒2, für (4) :     x dx ____  ax + b  =   x _ a –   b __  a  2 øn † ax + b † (5) :     x dx _____  (ax + b)  2 =   b ______  a  2 (ax + b)  +   1 __  a  2 øn † ax + b † (6) :     x dx _____  (ax + b)  n   =   a (1 – n) x – b _______________   a  2 (n – 1)(n – 2)(ax + b)  n – 1 F 2.2a A 90 S 34 S 37 Fig. 2.2b F 2.2b K 2.5 A 210 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv