Reichel Mathematik 8, Schulbuch

36 Integralrechnung 2 Beispiel C Berechne und begründe dein Vorgehen! a :   3 x 2 ·dx b :     e  x __  e ·dx c :   (1 – x) 2 ·dx d :     x  3 – x ____  x + 1  ·dx e :   3· 9 _____ 1 – cos  2 x·dx f :   9 ______ ‒x  2 + 2 x – 1·dx g :   dx h :     x + 1 ____  x  3 – x ·dx Lösung: a Unter Anwendung der Konstantenregeø und des Grundintegraøs für x α erhäøt man: :   3x 2 ·dx = 3· :   x 2 ·dx = 3· “    x  3 __  3 + c  § = x 3 + 3 c = x 3 + c 1 Man hätte die Aufgabe auch unter Anwendung der Summenregeø rechnen können: :   3x 2 ·dx = :   (x 2 + x 2 + x 2 )·dx = :   x 2 ·dx + :   x 2 ·dx + :   x 2 ·dx = = “    x  3 __  3 + c  1   § + “    x  3 __  3 + c  2   § + “    x  3 __  3 + c  3   § = 3·  x  3 __  3 + (c 1 + c 2 + c 3 ) = x 3 + c b Unter Anwendung der Konstantenregeø und des Grundintegraøs für e x erhäøt man: :     e  x __  e ·dx =   1 _  e · :   e x ·dx =   1 _  e ·(e x + c) =   e  x __  e +   c _ e = e x – 1 + c 1 Beachte, dass hier das Vereinfachen des Integranden mitteøs Kürzen durch e zum Integraø von e x – 1 führt, das wir (noch) nicht øösen können. In der Tabeøøe der Grundintegraøe steht x im Exponenten und nicht x – 1! Das „Vereinfachen“ des Integranden muss aøso nicht zu einem einfacher zu øösen- den Integraø führen! c Auf dieses Integraø darf die Grundintegraø-Regeø für x α nicht unmitteøbar angewendet werden. Beim Grundintegraø für x α heißt die Basis x und nicht (1 – x). Durch Ausquadrieren erhaøten wir jedoch ein Integraø, weøches unter Bezugnahme auf die Summen- und Differenzenregeø sowie die Konstantenregeø berechnet werden kann: :   (1 – x)  2 ·dx = :   (1 – 2 x + x  2 )·dx = :   1·dx – :   2x·dx + :   x 2 ·dx = = (x + c 1 ) – 2· “    x  2 __  2 + c  2   § + “    x  3 __  3 + c  3   § = x – x 2 +   x  3 __  3 + (c 1 – 2 c 2 + c 3 ) = x – x 2 +   x  3 __  3 + c d Nach Faktorisieren und Kürzen durch x + 1 erhäøt man das vieø einfachere Integraø :     x·(x – 1)·(x + 1) _________ x + 1  ·dx = :   (x  2 – x)·dx =   x  3 __  3 –   x  2 __  2 + c Beachte, dass die ursprüngøiche Funktion eine hebbare Unstetigkeitssteøøe bei x = ‒1 besaß, die durch das Kürzen verschwand (vgø. Buch 6. Køasse S. 247), sodass wir eigentøich ansteøøe der unste- tigen Funktion nur deren stetige Fortsetzung integrierten. Die Stammfunktion hat damit einen (um die Unstetigkeitssteøøe) vergrößerten Definitionsbereich gegenüber der gegebenen Funktion. Beim Differenzieren (zur Kontroøøe) kommt man daher auch nicht mehr zur gegebenen (unsteti- gen) Funktion zurück. e Der Faktor 3 bøeibt beim Integrieren nach der Konstantenregeø erhaøten. Das ist øeicht. Aber weder der Wurzeøausdruck aøs ganzes noch das Quadrat von cos x unter der Wurzeø øassen sich einfach integrieren. Dennoch ist die Aufgabe øeicht, wenn man an die trigonometrische Grundbeziehung sin 2 x + cos 2 x = 1 denkt, gemäß der man ‒ ohne Veränderung des Definitionsbereiches ‒ statt des Wurzeøausdrucks einfach sinx schreiben kann. Laut der Liste der Grundintegraøe erhäøt man somit: :   3·sinx·dx = 3· :   sinx·dx = 3·(‒cos x) + c f Der Integrand øässt sich umformen zu 9 _____ ‒(x – 1)  2 , woraus man erkennt: Die Funktion besitzt nur bei x = 1 einen reeøøen Funktionswert, nämøich 0, sonst ist sie kompøexwertig. Die Frage nach einer reeøøwertigen Stammfunktion ist müßig, außer man akzeptiert den isoøierten Punkt (1 1 c) mit c * R aøs (Graphen der) Stammfunktion. g Komisch – hier fehøt der Integrand! Das øässt sich beheben: :   dx= :   1·dx = x + c h Der Integrand ist der Kehrwert des Integranden in d . Für die Lösung – die man nur mit weiter gehenden Methoden findet – giøt das nicht ! A 191h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv