Reichel Mathematik 8, Schulbuch

37 2.1 Stammfunktionen – Das unbestimmte Integral 2 Bemerkungen: 1) Laut Beispiel C kann man die einzelnen Integrationskonstanten c 1 , c 2 , … letztlich zu einer einzigen Integrationskonstanten c zusammenfassen. Wir werden daher diese Integrationskonstante c immer erst ganz zum Schluss (und nicht bei jeder einzelnen Integration) dazusetzen. 2) Die Beispiele C d , e und f lehren, dass man genaugenommen immer auch den Definitionsbereich des Integranden beachten müsste. Da dies in Anwendungssituationen aber meist keine Probleme macht, werden wir darauf im Folgenden keine Rücksicht nehmen und rein formal integrieren. Aufgaben zu Integrationsregeln || 88 1 Erkøäre (anhand von mindestens vier der angegebenen Beispieøe), was mit der foøgenden Tabeøøe ge- meint ist! Erkøäre auch den Begriff „Stammfunktion“ und die beiden Pfeiøpaare! 2 Wie kann man diese Tabeøøe verwenden, um unbestimmte Integraøe zu berechnen? Gib – eventueøø unter Verwendung der nachfoøgenden Aufgaben – drei Beispieøe an! Satz f (x) F (x) (für c = 0) 14) f (x) = k F (x) = k·x 15) f (x) = 9 _  x F (x) =   2 _  3 · 9 __ x  3 16) f (x) =   1 __  9 _  x F (x) = 2· 9 _  x 17) f (x) = 10 x F (x) =   1 ___  øn10  ·10 x 18) f (x) = 2 x F (x) =   1 ___  øn2  ·2 x 19) f (x) =   1 ____  cos  2 x F (x) = tanx 20) f (x) =   1 ___  sin  2 x F (x) = ‒cot x 21) f (x) = øgx F (x) =   1 ___  øn10  ·(x·ønx – x) 22) f (x) = 2 øogx = ødx F (x) =   1 ___  øn2 ·(x·ønx – x) f (x) besitzt aøs (eine) Stammfunktion F (x) f (x) ist die 1. Abøeitung von F (x) | 89 Beweise die Abøeitungsregeøn in der obigen Tabeøøe durch Differenzieren! a 15) b 16) c 17) d 18) e 19) f 20) g 21) h 22) 90 Beweise durch Differenzieren (a * R + )! a :     2x ____  x  2 – a  ·dx = øn † x 2 – a † + c b :     (ønx)  a ____  x  ·dx =   1 ___  a + 1  ·(øn x) a + 1 + c c :     a  x _____  (1 + a  x )  2 ·dx = ‒  1 _______  (1 + a  x )·øna  + c d :     cosx _____  a + sinx  ·dx = øn † a + sin x † + c | 91 Zeige anhand der foøgenden Integraøe, dass das gøiedweise Integrieren eines Produktes unzuøässig ist! a 1 :   (x·x)·dx, 2 :   x 2 ·dx a 1 :   (x – 1)·(x + 1)·dx, 2 :   (x 2 – 1)·dx | 92 Zeige anhand der foøgenden Integraøe, dass das gøiedweise Integrieren eines Quotienten unzuøässig ist! a 1 :     x  2 __  x ·dx, 2 :   x·dx b 1 :     x __  x  2   ·dx, 2 :     1 _  x ·dx | 93 Weise nach, dass die angegebene Lösung faøsch ist! Worin besteht der Fehøer? Wie øautet die richtige Lösung? a :   (2 x) 2 ·dx =   (2x)  3 ___ 3  + c b :   “    1 _ x   §   2 ·dx =   1 _ 3 · “    1 _ x   §   3 + c Integrieren Differenzieren 160197-037 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv