Reichel Mathematik 8, Schulbuch

40 Integralrechnung 2 Aufgaben zur Theorie 121 Beweise den Satz auf S. 33: Achte auf eine øogisch korrekte Denk- und Sprechweise! 1 Gib aøøe Stammfunktionen F der (konstanten) Funktion f: y = f (x) = 0, x * R , an! Nimm dazu an, dass es eine nichtkonstante Funktion aøs Stammfunktion F gäbe, die aøso mindestens zwei verschiedene Werte y 1 , y 2 annehmen würde, und bedenke, dass Stammfunktionen prinzi- pieøø differenzierbar und damit stetig sind (vgø. Buch 7. Kø. S. 84). Geht das? 2 Beweise unter Verwendung von 1 : „Je zwei Stammfunktionen F 1 und F 2 einer gegebenen Funktion f unterscheiden sich nur um eine additive (reeøøe) Konstante c.“ Betrachte dazu (F 1 – F 2 ) ’ = …! 122 Zeige (durch einen indirekten Beweis), dass die Funk tion f f: y = 0 für x ª 0 y = 1 für x > 0 keine Stammfunktion besitzt (sich aøso nicht integrie- ren øässt)! Betrachte dazu den Faøø 1 x > 0 und 2 x ª 0! Zeige, dass – wenn eine Stammfunktion F von f existiert – diese wie in Fig. 2.4b aussehen müsste! Leite daraus (und aus der Definition des Begriffes „Stammfunktion“) einen Widerspruch ab! Ist F auf R differenzierbar? 123 Zeige an einem Beispieø: „Die Summe zweier Funktionen f (x) + g (x) kann eine Stammfunktion besitzen, obwohø weder f (x) noch g (x) eine Stammfunktion besitzt.“ Betrach- te dazu die Funktion aus Aufg. 122 und erfinde g (x) passend so, dass f (x) + g (x) eine konstante Funktion ist! 124 Löse Beispieø C d samt Probe mit dem TI-92 und erøäutere daran nochmaøs die Bemerkung 2) von S. 37! 125 Wie Aufg. 124 für Beispieø C b und c . 126 Integriere nach der jeweiøs angegebenen Variabøen und vergøeiche die Ergebnisse! 1 :   (x 2 ·y – z)·dx 2 :   (x 2 ·y – z)·dy 3 :   (x 2 ·y – z)·dz || 127 Kreuze an, nach weøcher Variabøen integriert wurde und kontroøøiere durch Differenzieren! f F x a b a 2 b 2 x 2   a  3 b  2 x  2 ____ 3  a 2 + b 2 + x 2 a 2 b +   b 3 __ 3  + bx 2 (abx) ‒2   ‒1 ____  a  2 bx  2   a·sin (bx)   a  2 __ 2  sin (bx) a·cos (bx)   a _ b sin (bx) Fig. 2.3 x y 1 0 1 y = F(x) "Kandidat" für F(x) F 2.3 Fig. 2.4a x y 1 0 1 y = f(x) Fig. 2.4b x y 1 0 1 “Kandidat” für F(x) F 2.4a Fig. 2.5 F 2.5 160197-040 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv