Reichel Mathematik 8, Schulbuch

41 2.2 Stammfunktionen – Einfache Differentialgleichungen 2 Stammfunktionen – Einfache Differentialgleichungen 1. Graphisches Integrieren Betrachten wir nochmals die Figur auf S. 33. Gemäß der Schieberegeln (vgl. Buch 5. Kl. S. 139) bestimmen die Funktionen F (x) + c , c * R , eine un- endliche Schar von Kurven, die aus dem Graphen von F (x) durch eine Pa- rallelverschiebung um c längs der y-Achse hervorgehen – siehe die oran- gen Pfeile in den Figuren. Als Schar paralleler Kurven besitzen sie bei jedem x 0 * D parallele Tangenten, und daher bei jedem x 0 dieselbe Stei- gung F ’ (x 0 ) = f (x 0 ). Das heißt aber nichts anderes, als dass f (x) die (ein- deutig bestimmte) Ableitung jeder Funktion F (x) + c angibt, und umge- kehrt F (x) + c die (unendlich vielen) Stammfunktionen von f (x) darstellen. Diesen Zusammenhang haben wir in der einen Richtung beim graphi- schen Differenzieren in der 7. Klasse (Buch 7. Kl. S. 56) einer Funktion verwendet, wo aus einer gegebenen Funktion ihre Ableitungsfunktion „punkteweise“ ermittelt wurde. Jeder ermittelte Punkt war dabei exakt ! Man kann diesen Zusammenhang aber nun auch in der umgekehrten Richtung zum graphischen Integ- rieren verwenden, also zum Aufsuchen (des Graphen) einer Stammfunktion F (x) der gegebenen Funk­ tion f (x) , wie das im Zusammenhang mit Bewegungsdiagrammen schon in Kap. 2.0 angesprochen wurde . Allerdings funktioniert dies nicht mehr „punkteweise“. Denn die Tangentensteigung zeigt uns ja nur, wie die Kurve „in einer kleinen Umgebung“ weitergeht, ohne einen weiteren Punkt der Kurve exakt zu liefern. Man kann sich daher – ausgehend von einem vorgegebenen Startwert ( Anfangsbedingung ) im- mer nur entlang (genügend) kleiner Kurvenstückchen vortasten und so den Graphen von F (x) zu kreie- ren suchen. Graphisches Integrieren bedarf daher großer Phantasie – und Vorsicht! Als wichtige Hilfe haben sich dabei so genannte Richtungsfelder bewährt. Diese stellen (im Allgemeinen in den Gitter- punkten des Koordinatensystems) ein „Gerüst“ aus Linienelementen ( = Punkt samt zugehöriger Tan- gente) der gesuchten Graphen dar. Erkøäre anhand des foøgenden Beispieøs! Beispiel A (Fortsetzung) Die Figur zeigt das mit dem TI-92 gezeichnete Richtungsfeød zu F’ (x) = x 2 im Intervaøø [‒3; 3] samt der zur Anfangsbedingung F (0) = 0 gehörigen Lösung . 1 Lies an einigen Steøøen (Gitterpunkten) die Steigung ab und kontroøøiere rechnerisch! Erkøäre daran, wie das Richtungsfeød offenbar konstruiert wurde und wie man es nach oben und unten bzw. nach rechts und øinks fortsetzen könnte! 2 Ergän- ze in der Zeichnung mit Farbstift durch graphisches Integrieren den zur Anfangsbedingung F (0) = +1 gehörigen Graphen! 3 Wie könnte man die Lösung zur Anfangsbedingung F (0) = c finden? Lösung: 1 Die Werte von F’ (x) øegen in aøøen Punkten (x 1 y) mit festem x und beøiebigem y den gøeichen (Tangens des) Steigungswinkeø(s) fest. Nach oben bzw. unten øässt sich das Richtungsfeød daher einfach durch „Paraøøeø- verschieben“ der Linieneøemente fortsetzen, nach rechts und øinks erst nach Berechnung ihrer dortigen Steigungen. x ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 0 1 2 3 4 F’ (x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16 2 Ausgehend vom Punkt (0 1 1) tasten wir uns im Richtungsfeød „vor“ und „zurück“. 3 Entweder verschieben wir den in 2 konstruierten Graphen paraøøeø zur y-Achse durch den Punkt (0 1 c), oder wir tasten uns vom Punkt (0 1 c) wie in 2 „vor“ und „zurück“. 2.2 AN 1.3, AN 3.2 c 1 c x y 1 0 1 F 1 (x) F 2 (x) = F 1 (x) + 1 F 3 (x) = F 1 (x) + c x 0 A  128 S  33 160197-041 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv