Reichel Mathematik 8, Schulbuch

44 Integralrechnung 2 Wir lösen diese Differentialgleichung durch „Trennung der Variablen“:  ​  dy __ dt ​= a·y É ​  dy __ y  ​= a·dt w ​ : ​  ​  dy __  y  ​​= ​ : ​  ​a​·dt É ​ : ​  ​  1 _  y ​·dy = ​ : ​  ​a​·dt w øn † y † = at + c (c * R) Diese logarithmische Gleichung formen wir durch Exponentiation für y > 0 um zu: y = e at + c = e c ·e at = k·e at Wegen e c > 0 für alle c * R ist k > 0 ; der Wert von k ergibt sich aus der Anfangsbedingung:  t = 0 w y (0) = y 0 = k·e a·0 = k·1 w k = y 0 Abschließend bleibt noch die Frage nach der vollständigen Lösung der Differentialgleichung y ’ = a·y . Beispiel F 1 Formuøiere mit eigenen Worten, was die Differentiaøgøeichung y’ = 0,4·y besagt! Versuche sie zu veranschauøichen! 2 Gib aøøe Lösungen dieser Differentiaøgøeichung an, insbesondere die für den Anfangswert y 0 = 1! Fertige ein Schaubiød an! Lösung: 1 Die Differentiaøgøeichung besagt: Die Geschwindigkeit (Änderungsrate) der Zunahme (wegen a > 0) ist (mit dem Proportionaøitätsfaktor a = 0,4) direkt proportionaø zum jeweiøigen Wert von y. Geometrisch ist damit in je- dem Punkt der xy-Ebene eine Richtung festgeøegt. Man sagt daher: Die Differentiaøgøeichung bestimmt ein Richtungsfeød . 2 Trennung der Variabøen øiefert wie oben ​  dy __ dx ​= 0,4·y w … y = k·e 0,4·x (k > 0) Die Lösung ist eine einparametrige Schar von Expo- nentiaøfunktionen mit dem Scharparameter k * R . In dieser Schar wird durch den Anfangswert y 0 wegen y 0 = 1 = k eine , eben die zu k = 1 gehörige (grün ein- gezeichnete) Lösungskurve aøs partikuøäre Lösung bestimmt. Andere Lösungen gibt es nicht ! 5. Das Verhältnis von Differentialgleichungen und Differenzengleichungen kennen Wir stellen die beiden Modelle des unbeschränkten Wachstums einander gegenüber. Zur Problematik der Verwendung des gleichen Buchstabens a links und rechts siehe Aufg. 133 und 134. Differenzengleichungsmodell (diskret) Differentialgleichungsmodell (kontinuierlich) y n + 1 – y n = a·y n  ​  dy __ dt ​= y’ = a·y y 0  ;  y n = y 0 ·(1 + a) n  y 0  ;  y = y 0 ·e at Die Differentialgleichung ist das kontinuierliche (stetige) Analogon der Differenzengleichung, die Expo- nentialfunktion das kontinuierliche (stetige) Analogon der (diskreten) geometrischen Folge. Wir spre- chen daher bei stetigem unbeschränkten Wachstum auch vom „exponentiellen Wachstum“. Das hier über das geometrisch-exponentielle Wachstum Gesagte gilt viel allgemeiner: Welchen Wachs- tums/Zerfallsprozess wir auch – siehe die folgenden Aufgaben – betrachten, stets ist die jeweilige Dif- ferentialgleichung das kontinuierliche (stetige) Analogon einer Differenzengleichung, und umgekehrt. Im Allgemeinen gelten Differentialgleichungen als die theoretisch elegantere Darstellung, obwohl sie meist bloß eine idealisierte Darstellung sind und sich vielfach nur näherungsweise, also (mittels Com- puter) numerisch über die zugehörige Differenzengleichung lösen lassen. Der Wechsel zwischen den beiden Beschreibungen ist also eine wichtige, aber eine – siehe zB die Problematik um die Interpreta­ tion von a und die Umrechnung zwischen a disk und a kont – anspruchsvolle Kompetenz. 1 0 1 y x A  144 160197-044 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv