Reichel Mathematik 8, Schulbuch

66 Integralrechnung 2 Aufgaben zur Theorie (Rechenregeln, Abschätzungen, etc.) Beispiel O Beweise und interpretiere anhand einer Figur: Für jede stetige Funktion f auf einem Intervaøø [a; b] und jeden Wert c mit a < c < b giøt: ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx = ​ :  a ​  c ​f​(x)·dx + ​ :  c ​  b ​f​(x)·dx Lösung: ​ :  a ​  c ​f​(x)·dx + ​ :  c ​  b ​f​(x)·dx = (F (c) – F (a)) + (F (b) – F (c)) = = F (b) – F (a) = ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx |  231  Beweise wie in Beispieø O! Interpretiere die Orientierung des Føächeninhaøtes anhand der Figuren! Regel Orientierungsregeø: 1 ​ :  a ​  b ​f ​(x)·dx = ‒​ :  b ​  a ​f​(x)·dx 2 ​ :  a ​  b ​‒f​(x)·dx = ‒​ :  a ​  b ​f ​(x)·dx |  232  1 Zeige anschauøich: ​ :  5 ​  8 ​f​(x)·dx = ​ :  1 ​  8 ​f​(x)·dx – ​ :  1 ​  5 ​f​(x)·dx 2 Weøche aøøgemeine Formeø steckt hinter diesem Beispieø? 233  Vergøeiche die obige Ausführung zu „negativen“ Føächeninhaøten mit denen im Buch 6. Kø. Aufg. 62! Diskutiere sie in Partnerarbeit oder haøte dazu ein Kurzreferat! |  234  In Fig. 2.16a sind die Graphen einer Funktion f: y = f (x) und deren Føächeninhaøtsfunktion F: y = F (x) in zugeordneter Lage dargesteøøt. Erkøäre, a wieso F nicht monoton wächst (wie es Skizzen anaøog Fig. 2.16b suggerieren), b wie man aus f das Monotonieverhaøten von F abøesen kann, c wieso den Extremwerten von F Nuøøsteøøen von f entsprechen! x y b 0 a + ‒ x y b 0 a + ‒ y = f(x) y = ‒ f(x) 0 F x y x y 0 f Fig. 2.16a x y 0 f(x) 1 1 F(x) Fig. 2.16b x y 0 y = f(x) c a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv