Reichel Mathematik 8, Schulbuch

67 2.4 Das Flächeninhaltsproblem – Bestimmte Integrale stetiger Funktionen 2 235  Beweise foøgende Abschätzung aus der geometrischen Interpretation des bestimmten Integraøs : Für jede a positive stetige Funktion f auf [a; b] giøt: b beøiebige stetige Funktion f auf [a; b] giøt: ​:  a ​  b ​f (​x)·dx ª † b – a † ·max{f (x) ‡ a ª x ª b} ​ †  ​ :  a ​  b ​f (​x)·dx  † ​ ª † b – a † ·max{ † f (x) †‡ a ª x ª b} |  236  Gib unter Verwendung von Aufg. 235 eine obere Schranke an! a ​ :  1 ​  9 ​f​(x)·dx a ​ :  1 ​  7 ​f​(x)·dx 237  1 Es sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, die ganz oberhaøb der x-Achse verøäuft. Wir bezeichnen min{f (x) ‡ a ª x ª b} mit m und max{f (x) ‡ a ª x ª b} mit M. Verifiziere anhand einer Skizze die Ungøeichungen:   m·(b – a) ª ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx ª M·(b – a) 2 Beweise den so genannten Mittelwertsatz der Integralrechnung : Unter den Voraussetzungen von 1  1 gibt es einen Wert ξ mit a ª ξ ª b, sodass:  ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx = f ( ξ )·(b – a) 3 Erkøäre (anhand einer Skizze), wie der Mitteøwertsatz der Integraørechnung mit dem Mitteøwert einer Funktion zusammenhängt! Weøche Bedeutung haben ξ und f ( ξ )? ||  238  Deute die Funktion f in Aufg. 237 aøs Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t im Intervaøø t 1 bis t 2 ! Was wird dann durch 1 m, 2 M, 3 ξ , 4 t 2 – t 1 , beschrieben? 5 Übertrage die Ungøeichung in Aufg. 237 1 hierher und veranschauøiche sie! 6 Berechne die mittøere Geschwindigkeit gemäß Aufg. 237 2 unter der Voraussetzung, dass Herr A zunächst 20 Minuten im Ortsgebiet mit 48 km/h, sodann auf der Autobahn 30 Minuten mit 96 km/h, sodann 10 Minuten wieder mit 48 km/h fährt. Veranschauøiche in einem Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm! 7 Wieso beschreibt ​ :  ​ t​  1 ​ ​  ​t​  2 ​ ​v​(t) die Länge des zurückgeøegten Weges, aøso etwas „Lineares”, wo doch das bestimmte Integraø eine „Føäche“ misst?  1 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt auch für stetige Funktionen, die auf [ a ; b ] (auch) negative Werte annehmen, also für be- liebige stetige Funktionen. F  2.17 x y 0 a b M M = max{f(x)|a ≤ x ≤ b} Fig. 2.17a x y 0 a b M M M = max{|f(x)| |a ≤ x ≤ b} Fig. 2.17b x y 1 0 1 y = f(x) Fig. 2.18a x y 1 0 1 y = f(x) Fig. 2.18b 160197-067 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv