Reichel Mathematik 8, Schulbuch

70 Integralrechnung 2 249  Berechne anhand einer Skizze den Føächeninhaøt der Ordinatenmenge unter a f: y = † x 5 † zwischen ‒1 und 1! b f: y = † x 3 † zwischen ‒1 und 1! c f: y = ​ 9 __ † x †​ zwischen ‒2 und 2! d f: y = ​ 4 9 __ † x †​ zwischen ‒4 und 4! e f: y = † x – 2 † zwischen 0 und 3! f f: y = † x + 1 † zwischen ‒2 und 1! g f: y = † x 2 – 4 † zwischen ‒3 und 4! h f: y = † 4 – x 2 † zwischen ‒4 und 3! |  250  Wie groß ist das Føächenstück, das von der gøeichseitigen Hyperbeø y = 1/x, der x-Achse und den zu a = 1 und b (b > a) gehörigen Ordinatenøinien begrenzt wird? Skizze! ||  251  Wie groß ist das endøiche Føächenstück, weøches die Abszissenachse mit der Kurve a y = x 3 – 6 x 2 + 9x, b y = x 3 + 4 x 2 + 4 x biødet? Skizze! ||  252  Wie groß ist das endøiche Føächenstück, weøches die Abszissenachse mit der Kurve a y = x 4 – 4 x 2 + 4, b y = x 4 – 2 x 2 + 1 biødet? Skizze! 253  Gegeben ist eine Kurve (Fig. 2.26) mit der Funktionsgøeichung y = x 3 – 4 x 2 – x + 4. Ermittøe die Nuøøsteøøen x 1 , x 2 und x 3 (x 1 < x 2 < x 3 ) und berechne 1 den Føächeninhaøt zwischen x 1 und x 3 , 2 das bestimmte Integraø von f zwischen x 1 und x 3 ! 3 Warum muss man bei 1 auf x 2 achten, bei 2 nicht? Flächeninhalt zwischen zwei Kurven  1 Satz Føäche zwischen zwei Funktionsgraphen (zwischen aufeinander foøgenden Schnittpunkten): A = ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​ †​ f (x) – g (x) † ·dx = ​ †  ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​f​(x)·dx – ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​g​(x)·dx  † ​ 254  a Erkøäre beide Teiøe der voranstehenden Formeø für den Føächeninhaøt A zwischen den Funktions­ graphen f und g, die ganz oberhaøb der x-Achse verøaufen und einander bei den Integrationsgrenzen (= Stützsteøøen) x 1 und x 2 schneiden ! b Sind beide Teiøe der Formeø auch dann richtig, wenn f bzw. g (auch) negative Werte annehmen ? Überprüfe dies für f: y = sinx, g: y = cos x, a = x 1 = π /4 und b = x 2 = 5 π /4 und begründe aøøgemein! c Faøøen die Integrationsgrenzen nicht mit aufeinander foøgenden Schnittsteøøen zusammen, so giøt der zweite Teiø der Formeø nicht mehr, wohø aber der erste. Überprüfe dies für f: y = sinx, g: y = cos x, a = 0 und b = 2 π ! Fig. 2.27a x 1 x y 0 g(x) f(x) x 2 Fig. 2.27b g(x) f(x) x y 0 x 2 x 1 255  Erkøäre anhand einer Skizze anaøog zu Fig. 2.27 und der obigen Formeø, wie man vorzugehen hat 1 wenn f und g mehr aøs zwei Schnittpunkte besitzen! Gib eine Formeø an! 2 wenn die Integrationsgrenzen a und b nicht bei den Schnittsteøøen x 1 und x 2 øiegen ! Gib eine Formeø an! 256  Erkøäre anhand einer Skizze, inwieweit die Merkregeø von S.62, dass man bei Føächenberechnungen nicht über Nuøøsteøøen „hinweg integrieren“ darf, in Aufg. 255 ein Anaøogon findet!  1 Wir beschränken uns im Allgemeinen auf endliche Flächenstücke. Fig. 2.26 x x 1 x 2 x 3 F  2.27a F  2.27b A  254c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv