Reichel Mathematik 8, Schulbuch

72 Integralrechnung 2 | 265 1 Beweise: :  0   12 –   1 _ 4 ·(x – 3)·(x – 10)·dx = 0 2 Erkøäre, wie dieser Wert mit dem Føächeninhaøt A unter f: y = ‒1/4·(x – 3)·(x – 10) zwischen 0 und 12 zusammenhängt! Skizze! Bestimmte Integrale mit unbekannten oder uneigentlichen Integrationsgrenzen || 266 Ermittøe die jeweiøige Grenze so, dass das Integraø den gegebenen Wert besitzt! Skizze! a :  1   b (x – 2)·dx =   3 _ 2 b :  a     3 π __ 2  sin x = 9 _ 2 c :  ‒a   a x 2 ·dx =   16 __ 3  Bemerkung: Integrale, bei denen (mindestens) eine Integrationsgrenze keine „eigentliche“ Zahl – wie etwa • – ist bzw. wo die Funktion an (mindestens) einer Integrationsgrenze nicht definiert ist, heißen uneigentliche Integrale (1. bzw. 2. Art). Der „Wert“ des Integrals kann dennoch endlich sein, also eine reelle Zahl. Er kann aber ebenso – es handelt sich ja um einen Grenzwert – bestimmt divergent (also ± • ) oder divergent sein und somit nicht existieren. 267 Berechne den Inhaøt des braunen Føächenstückes ! 1 A = :  1   •   1 _  x ·dx =  øim  b ¥ • :  1   b   1 _  x ·dx 2 A = :  1   •   1 __  x  2   ·dx =  øim   b ¥ • :  b   1   1 __  x  2   ·dx 268 1 Zeichne in Fig. 2.30a über der x-Achse zwischen 1 und 2 ein 1 cm hohes, zwischen 2 und 3 ein 1/2 cm hohes, zwischen 3 und 4 ein 1/3 cm hohes usw. Rechteck ein. Schätze die Summe der Inhaøte der so entstehenden unendøich vieøen Rechtecksføächen durch den Føächeninhaøt des zugehörigen Normaø bereiches ab! Inwieweit hat man damit einen weiteren Beweis für die Divergenz der harmonischen Reihe (vgø. Buch 6. Kø. S. 136) gefunden? 2 Wie kann man Fig. 2.30b in anaøoger Weise für den Beweis der Konvergenz der Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … nützen? 269 Berechne und erkøäre anhand einer Figur anaøog zu Fig. 2.30! a  øim   b ¥ • :  0   b 2 ‒x ·dx b  øim  b ¥ • :  ‒1   b e ‒x ·dx c  øim  b ¥ • :  0   b k·3 ‒x ·dx, k ≠ 0 270 Berechne und interpretiere anhand einer Figur anaøog zu Fig. 2.30! 1  øim  a ¥ 0 :  a   4   dx __ 9 _  x  2  øim   a ¥ 0 :  a   4   dx __  x  2 271 Berechne das foøgende Integraø! Erkøäre anhand von Fig. 2.31, warum man wie foøgt rechnen muss: :  1   3   x ____  x  2 – 1  ·dx = øim  a ¥ 1 :  a   3   x ____  x  2 – 1  ·dx 272 Wie Aufg. 271. Skizze! a :  1   5   x ____  9 ___ x  2 – 1 ·dx b :  1   2   dx ____  3 9 ___ x – 1 c :  1   2   dx ___  x – 1 d :  ‒2   0   dx __  3 9 __ x  2 F 2.30 x y 1 0 1 Fig. 2.30a x y 1 0 1 Fig. 2.30b x y = x x 2 ‒1 y 1 0 1 Fig. 2.31 160197-072 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv