Reichel Mathematik 8, Schulbuch

73 2.4 Das Flächeninhaltsproblem – Bestimmte Integrale stetiger Funktionen 2 Integrale, die durch geometrische und algebraische Transformationen (Substitution) gelöst werden 273  Im Foøgenden wird skizziert, wie man den Føächeninhaøt des Kreises x 2 + y 2 = r 2 berechnen kann. Führe die Berechnung ausführøich durch! Wir berechnen zunächst den Føächeninhaøt des Vierteøkreises mitteøs ​:  0 ​  r ​ 9 ____ ​ r​  2 ​– ​x​  2 ​ ​·dx Dazu substituieren wir x = r·cos φ (verwenden aøso Poøarkoordinaten – vgø. Buch 5. Kø. S. 205), berechnen dx (durch Differenzieren von x nach φ bei konstantem r) und transformieren die Grenzen. Das entstehen- de Integraø kann zB gemäß Aufg. 185 berechnet werden. Überzeuge dich anschøießend grob an einer Skizze, dass die Substitution geometrisch gesehen eine føächentreue Abbiødung des ursprüngøichen auf einen neuen Normaøbereich bewirkt! Zeichne dazu den Graphen des Vierteøkreises und den Graphen der durch Substitution gewonnenen Funktion zwischen den transformierten Grenzen und schraffiere die beiden einander entsprechenden Føächen! 274  Berechne anaøog zu Aufg. 273 den Føächeninhaøt der Eøøipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ! Verwende Fig. 2.33! 275  Löse Aufgabe 274 – vieø einfacher – durch geometrische Überøegungen. Überøege dazu, durch weøche geometrische Transformation aus einem Kreis mit dem Radius a eine Eøøipse mit den Achsen a und b ent- steht! Handeøt sich es hier wie in Aufg. 273 um eine føächentreue Transformation? Vgø. Buch 7. Kø. S. 189! Weitere Übungsaufgaben (in Verbindung mit Kurvendiskussionen) ||  276  Die Graphen der Funktionen f: y = f (x) und g: y = g (x) und die Ordinatenøinien in den Endpunkten des Intervaøøs [a; b] begrenzen ein Føächenstück. 1 Berechne den Føächeninhaøt! 2 Fertige eine Zeichnung an! a f: y = 3/5·x + 4 und g: y = ‒2/5·x + 3 zwischen a = ‒5 und b = 5 b f: y = 1/4·x + 11/2 und g: y = ‒1/2·x + 1 zwischen a = ‒2 und b = 4 c f: y = ‒1/4·x 2 + 6 und g: y = 1/8·(x 2 + 6 x + 24) zwischen a = ‒4 und b = 2 d f: y = (x – 1) 2 und g: y = ‒x 2 + 5 zwischen a = ‒1 und b = 2 ||  277  Wie Aufg. 276. a f: y = sin2 x und g: y = sinx zwischen a = 0 und b = π /2 b f: y = sin2 x und g: y = cos x zwischen a = 0 und b = π /2 ||  278  Berechne den Inhaøt des Føächenstückes, das von den Kurven k 1 und k 2 begrenzt wird! Skizze! a k 1 : y 2 = 8 x und k 2 : 3 y – 2 x = 8 b k 1 : y 2 = 4 x und k 2 : 2x – y = 4 c k 1 : y = 6 x – x 2 und k 2 : y = x d k 1 : y = 4 x + x 2 und k 2 : y = ‒x e k 1 : y = x 3 – 3 x und k 2 : y = x f k 1 : y = x 3 – 5 x und k 2 : y = ‒x g k 1 : y 2 = 6 x und k 2 : x 2 = 6 y h k 1 : y 2 = 8 x und k 2 : x 2 = 8 y F  2.32 x y 0 φ y = r sin φ x = r cos φ Fig. 2.32 x y 0 φ y = b sin φ x = a cos φ Fig. 2.33 160197-073 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv