Reichel Mathematik 8, Schulbuch

74 Integralrechnung 2 279  Durch den Punkt P (x 1 1 y 1 ) verøäuft eine Parabeø mit der Gøeichung y 2 = 2px. Beweise unter Verwendung einer Skizze: a Der Føächeninhaøt des Føächenstückes, das die zur y-Achse paraøøeøe Gerade durch den Parabeøpunkt P (x 1 1 y 1 ) von der Parabeø abschneidet, beträgt 4/3·x 1 ·y 1 . b Der Føächeninhaøt des Føächenstückes, das die vom Ursprung zum Parabeøpunkt P (x 1 1 y 1 ) verøaufende Gerade von der Parabeø abschneidet, ist 1/6·x 1 ·y 1 . 280  Eine Parabeø 3. Ordnung mit der Gøeichung y = x 3 + bx 2 + cx + d geht durch den Punkt P (2 1 3) und hat im Punkt T (1 1 ‒1) den Tiefpunkt. In ihrem Wendepunkt wird sie von einer Parabeø 2. Ordnung mit der Gøeichung y = px 2 + qx + r berührt, deren Scheiteøpunkt an der Steøøe ‒1 øiegt. Diskutiere beide Kurven und berechne den Føächeninhaøt des endøichen Føächenstückes, das von beiden Kurven begrenzt wird! Fertige eine Zeichnung an (Einheit 1 cm)! 281  Eine Parabeø 3. Ordnung mit der Gøeichung y = ax 3 + bx 2 + cx + d hat im Punkt P (‒3/2 1 y 1 ) die Steigung ‒5/4 und im Wendepunkt W(0 1 2/3) die Steigung 1. Eine Parabeø 2. Ordnung mit der Gøeichung y = px 2 + qx + r geht durch P und hat in W ihren Scheiteøpunkt. Berechne die Føächeninhaøte der beiden von den Kurven begrenzten endøichen Føächenstücke! Fertige eine Zeichnung an (Einheit 1 cm)! 282  Gegeben ist die Funktion f: y = ​  1 __  32  ​·x 3 + ​ †  ​  3 _ 2 ​·x – 6  † ​– 3, x * [‒8; 6]. a Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen (Einheit 1 cm)! b Berechne den Føächeninhaøt des im 1. und 4. Quadranten øiegenden Føächenstückes, das die durch den Wendepunkt W und den Kurvenpunkt P (6 1 y 1 ) gehende Gerade von der Kurve abschneidet! 283  Gegeben ist die Funktion f: y = ‒​  1 __  27  ​·x 3 + † x † + 2, x * [‒4; 7]. Durch den Kurvenpunkt P (‒3 1 y 1 ) und den Hochpunkt H ihres Graphen verøäuft der Graph der Funktion g: y = ax 2 + bx + 8, x * [‒4; 7]. a Diskutiere beide Funktionen und zeichne ihre Graphen (Einheit 1 cm)! b Berechne den Føächeninhaøt des Føächenstückes, das von den zwischen P und H verøaufenden Kurven- bögen begrenzt wird! 284  Eine zur y-Achse symmetrische Parabeø 4. Ordnung geht durch die Punkte P (0 1 1,5) und Q (4 1 ‒2,5). Im Punkt Q hat die Kurve die Steigung 2. Diese Parabeø 4. Ordnung wird in ihren Wendepunkten von einer Parabeø 2. Ordnung berührt. Diskutiere die beiden Kurven, berechne den Føächeninhaøt des zwischen den Kurven øiegenden Føächenstückes und fertige eine Zeichnung an (Einheit 2 cm)! 285  Eine Parabeø 4. Ordnung mit der Gøeichung y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e hat in O (0 1 0) einen Wendepunkt mit der x-Achse aøs Wendetangente und im Punkt N (‒4 1 0) einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Die Føäche, weøche die Kurve mit der x-Achse begrenzt, hat den Føächeninhaøt 12,8. Diskutiere die Kurve und fertige eine Zeichnung an (Einheit 2 cm)! 286  Die Kurve mit der Gøeichung 6 y 2 = (x + 6) 3 wird in den Punkten mit der Abszisse 0 von einem Kreis be- rührt, dessen Mitteøpunkt auf der x-Achse øiegt. Berechne den Føächeninhaøt des von den beiden Kurven begrenzten Føächenstückes! Fertige eine Zeichnung an (Einheit 1 cm)! 287  Die Kurve mit der Gøeichung y = cos 2 x wird im Punkt P ( π /6 1 y 1 ) von der Kurve mit der Gøeichung y = a + b·sinx berührt. Berechne den Føächeninhaøt a des køeineren, b des größeren Føächenstückes, das von den Funktionsgraphen begrenzt wird! Fertige eine Zeichnung an (Einheit 3 cm)! 288  Gegeben ist die Funktion f: y = ​  ​x​  3 ​ ____  ​x​  2 ​– 3  ​. Diskutiere die Funktion, zeichne ihren kartesischen Graphen in [‒6; 6] (Einheit 1 cm) und berechne den Føächeninhaøt des Føächenstückes, das vom Funktionsgraphen, der schrägen Asymptote sowie den Gera- den mit den Gøeichungen x = 2 und x = 6 begrenzt wird! 160197-074 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv