Reichel Mathematik 8, Schulbuch

76 Integralrechnung 2 Ausblick: Numerische Integration Bisher haben wir bestimmte Integrale dadurch ermittelt, dass wir eine Stammfunktion F von f ermittel- ten und dann F (b) – F (a) berechneten. Nun ist es aber so, dass viele Funktionen keine durch endlich viele elementare Funktionen ausdrückbare Stammfunktion besitzen und sich daher auch nicht durch Rückführung auf gewisse elementare Integrale (vgl. die Tabelle der Grundintegrale auf S. 34) berechnen lassen. Beispiele dafür sind die gar nicht schwierig scheinenden Integrale :  π /4   π /2 sin   1 _  x ·dx oder :  0,5   1 e  ‒  x  2 __  2 ·dx In anderen Fällen ist es zwar theoretisch möglich, eine Stammfunktion zu finden, aber äußerst kompliziert und aufwändig. Denke zB an jene Integrale, die sich nur durch mehrmalige partielle Integration, Substitution usw. lösen lassen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist :  ‒r   r 9 ____ r  2 – x  2  ·dx für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Halbkreises . Für diese Fälle gibt es numerische Näherungsverfahren, die zwar den Wert des in Rede stehenden Inte- grals im Allgemeinen nicht genau liefern , dafür aber „beliebig genau“, wenn man nur genügend oft eine gewisse Rechenprozedur wiederholt. Eben das ist aber – wenn man Computer verwendet – kaum ein wirkliches Problem. Es gibt mehrere Möglichkeiten, bestimmte Integrale näherungsweise zu berechnen und – was das Wichtigste dabei ist – den Fehler, die Differenz zum „wahren“ Wert, abzuschätzen. Alle diese Näherungsverfahren gehen von der Deutung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt aus (wenn man sich auf Intervalle beschränkt, wo der Graph der in Rede stehenden Funktion ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse verläuft) und versuchen, diesen Flächeninhalt durch möglichst ein fache geometrische Figuren „auszuschöpfen“. 1. Die Rechtecksformel verstehen und anwenden Es sei f: y = f (x) eine stetige Funktion, deren Graph auf [ a ;  b ] ganz oberhalb der x-Achse verläuft. Um :  a   b f(x)·dx zu berechnen, dh. also den Flächeninhalt A unter f zwischen a und b , könnte man die Fläche wie in Fig. 2.35 durch viele schmale Rechtecke von gleicher Breite Δ x annähern (approxi- mieren). Approximieren wir durch n solche Rechtecke, so ist Δ x = (b – a)/n , und für die „Zwischenpunkte“ x i gilt: x i = a +   b – a ___ n  ·i i = 1,2, …, n – 1 und x 0 = a und x n = b Für den Flächeninhalt A (das gesuchte Integral) gilt somit bei Verwendung von n Rechtecken die Satz Rechtecksformeø: A ≈ S n = ;  i = 0   n – 1 f (x i )· Δ x mit Δ x =   b – a ___ n  und x 0 = a Je größer n ist, desto mehr Teilungspunkte ergeben sich und desto besser wird die Summe S n – die so genannte RIEMANN-Summe – den gesuchten Flächeninhalt A approximieren. 2.5 S 80 A 273 Fig. 2.34 F 2.34 AN 4.3 Fig. 2.35 y = f(x) 0 x y Δ x a b = = x 0 x 1 x 2 … x i … x n K 3.1 160197-076 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv