Reichel Mathematik 8, Schulbuch

77 2.5 Ausblick: Numerische Integration 2 2. Die Trapezformel verstehen Es sei f: y = f (x) eine stetige Funktion, deren Graph auf [ a ;  b ] ganz oberhalb der x-Achse verläuft. Um :  a   b f(x)·dx zu berechnen, dh. also den Flächeninhalt A unter f zwischen a und b , könnte man die Fläche wie in Fig. 2.36 durch viele schmale, gleich breite Trapeze ersetzen. Für den Flächeninhalt A i des i-ten von n Trapezen gilt: A i =   Δ x __  2  · “ f (x i – 1 ) + f (x i )  § mit Δ x =   b – a ___ n  und i = 1, …, n Für den Flächeninhalt A (das bestimmte Integral) gilt daher A ≈ ;  i = 1   n A i =   Δ x __  2  · “  f (x  0 ) + f (x  1 ) + f (x  1 ) + f (x  2 ) + … + f (x  n – 1 ) + f (x  n – 1 ) + f (x  n )  § also Satz Trapezformeø: :  a   b f(x)·dx ≈   b – a ___  2n  · “ f (x 0 ) + 2·f (x 1 ) + 2·f (x 2 ) + … + 2·f (x n – 1 ) + f (x n )  § Je mehr Trapeze wir verwenden, umso besser wird offenbar die Approximation sein. Dennoch wird aber ein Fehler (error) auftreten, einerseits bedingt durch Rundungsfehler , andererseits bedingt durch die Art des Näherungsverfahrens ( Verfahrensfehler ). Nun will man natürlich wissen, wie gut die Nähe- rung ist. Mit Methoden der höheren Mathematik zeigt man, dass der Verfahrensfehler bei der Trapez- formel durch folgende Formel abgeschätzt werden kann: Satz Verfahrensfehøer e der Trapezformeø: † e † ª   (b – a)  3 _____  12 n  2 ·max{ † f’’(x) †‡ a ª x ª b} Bemerkungen: 1) Für die Abschätzung muss – anders als für das Verfahren selbst – vorausgesetzt werden, dass f ’’ existiert (und stetig ist). Dass f ’’ in der Fehlerabschätzung vorkommt, darf dich nicht wundern. Erin- nere dich: f ’’ hat mit der Krümmung des Graphen zu tun. Aber eben diese Krümmung ist – vgl. Fig. 2.36 – dafür verantwortlich, ob die oberen Schrägseiten der Trapeze sich dem Kurvenverlauf besser oder schlechter anpassen. 2) In der Praxis kommt es oft vor, dass man die Funktion f nicht in Termdarstellung kennt. Das ist nicht nötig, wenn man f an genügend vielen (äquidistanten!) Zwischenpunkten (tabellarisch) kennt. Bei- spiel Q zeigt die Vorgangsweise. Beispiel Q Berechne unter Verwendung der foøgenden Tabeøøe :  2   4 f(x)·dx für Lösung: Hier ist n = 4, b – a = 4,0 – 2,0 = 2 und daher øaut Trapezformeø :  2   4 f (x)·dx ≈   2 _ 8 ·(1,7321 + 2·1,8701 + 2·2,0000 + 2·2,2123 + 2,2361) = 4,0333 Bemerkung: Die Differenz des Näherungswertes 4,0333 zum „wahren Wert“ des Integrals kannst du im Beispiel Q nicht abschätzen, weil du die Funktionswerte zwischen den gegebenen Stellen nicht kennst! (Und die Formel kann man nicht verwenden, weil f ’’ nicht bekannt ist.) AN 4.3 Fig. 2.36 b = x n y = f(x) 0 x y a = x 0 x 1 … x i … x 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 x i f (x) 1,7321 1,8701 2,0000 2,2123 2,2361 f (x i ) 160197-077 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv