Reichel Mathematik 8, Schulbuch

78 Integralrechnung 2 3. Die SIMPSON’sche Formel verstehen Die Trapezformel liefert im Allgemeinen recht gute Näherungswerte. Noch bessere (genauere) Nähe- rungswerte erhält man (im Allgemeinen), wenn man die zu y = f (x) gehörige Kurve durch Parabelbögen (statt wie bei der Trapezmethode durch deren Sehnen) approximiert. Dazu teilt man das Grundintervall [ a ;  b ] in n gleich breite Teilintervalle. In jedem Teilintervall ersetzt man f gemäß Fig. 2.37 durch einen Parabelbogen mit der Gleichung y = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 (vgl. Buch 5. Kl. S. 149f), der durch die Kurvenpunkte an den Rändern dieses Teilintervalls und durch den Kurvenpunkt in der Mitte dieses Teilintervalls hin- durchgeht. Die Koeffizienten a 2 , a 1 und a 0 findet man durch einen unbestimmten Ansatz (vgl. Buch 7. Kl. S. 101). Insgesamt hat man für die n Parabelstücke 2n – 1 viele äquidistante Zwischenpunkte x 1 bis x 2n – 1 im In- tervall [a = x 0 ; b = x 2n ] zu wählen:  a = x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ; x 6 ; …; x 2n – 2 ; x 2n – 1 ; x 2n = b Die Punkte ( x 0 1 f (x 0 )) , ( x 1 1 f (x 1 )) und ( x 2 1 f (x 2 )) bestimmen die 1-te Parabel, die Punkte ( x 2 1 f (x 2 )) , ( x 3 1 f (x 3 )) und ( x 4 1 f (x 4 )) die 2-te Parabel, … die Punkte ( x 2k – 2 1 f (x 2k – 2 )) , ( x 2k – 1 1 f (x 2k – 1 )) und ( x 2k 1 f (x 2k )) die k-te Parabel, … die Punkte ( x 2n – 2 1 f (x 2n – 2 )) , ( x 2n – 1 1 f (x 2n – 1 )) und ( x 2n 1 f (x 2n )) die n-te Parabel. Danach wird der Flächeninhalt A k unter jedem der n Parabelbögen im zugehörigen Teilintervall durch Integration ermittelt. Die Summe S n dieser n Flächeninhalte ist dann ein (im Allgemeinen sehr guter) Näherungswert für das gesuchte Integral. Eine formelmäßige Darstellung dieser Vorgangsweise wurde 1743 vom englischen Mathematiker Tho- mas SIMPSON (1710–1761) veröffentlicht. Zu ihrer Herleitung berechnen wir den Flächeninhalt A k unter dem k-ten Parabelbogen allgemein: Setzen wir vorübergehend zur Abkürzung p = x 2k – 2 , q = x 2k , r = x 2k – 1 , dann gilt r = (p + q)/2 , also p + q = 2 r und 2pq = 4 r 2 – p 2 – q 2 , und wir erhalten: A k = ​ :  p ​  q ​(​a 2 x 2 + a 1 x + a 0 )·dx = a 2 ·​  ​x​  3 ​ __  3 ​+ a 1 ·​  ​x​  2 ​ __  2 ​+ a 0 ·x​ †  p ​  q ​=​ = ​  ​a​  2 ​ __  3 ​·(q 3 – p 3 ) + ​  ​a​  1 ​ __  2 ​·(q 2 – p 2 ) + a 0 ·(q – p) = = ​  q – p ___  6  ​·​ “  2a 2 ·(q 2 + pq + p 2 ) + 3a 1 ·(p + q) + 6a 0 § ​= = ​  q – p ___  6  ​·​ “  a 2 ·(2p 2 + (4 r 2 – p 2 – q 2 ) + 2q 2 ) + a 1 ·(p + q) + 4a 1 r + 6a 0 § ​= Fig. 2.37 b = x 2n a = x 0 x 1 x 2 … x 2k–2 x 2k–1 x 2k … x y 0 n = 4 160197-078 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv