Reichel Mathematik 8, Schulbuch

79 2.5 Ausblick: Numerische Integration 2 =   q – p ___  6  · “  (a 2 p 2 + a 1 p + a 0 ) + 4·(a 2 r 2 + a 1 r + a 0 ) + (a 2 q 2 + a 1 q + a 0 )  § = =   b – a ___  6n  · “  f (x 2k – 2 ) + 4·f (x 2k – 1 ) + f (x 2k )  § Durch Summation aller Parabelflächeninhalte A k von k = 1 bis k = n erhalten wir: S n = ;  k = 1   n A k =   b – a ___  6n  · ” “ f (x 0 ) + 4·f (x 1 ) + f (x 2 )  § + “ f (x 2 ) + 4·(f (x 3 ) + f (x 4 )  § + + … + “  f (x 2n – 2 ) + 4·f·(x 2n – 1 ) + f·(x  2n )  § § also die Satz SIMPSON’sche Formeø: :  a   b f(x)·dx ≈   b – a ___  6n  · “  f (x 0 ) + 4·f (x 1 ) + 2·f (x 2 ) + 4·f (x 3 ) + 2·f (x 4 ) + … + 4·f (x 2n – 1 ) + f (x 2n )  § Durch wesentlich schwierigere Überlegungen erhält man den Satz Verfahrensfehøer e der SIMPSON’schen Formeø: e = †  :  a   b f(x)·dx – S  n   † ª   (b – a)  5 _____  180·n  4 ·max{ † f IV (x) †‡ a ª x ª b} Beispiel R Berechne 1 mit Hiøfe der SIMPSON’schen Formeø für n = 2, 2 exakt: :  2   3 ønx·dx Lösung: 1 Für die händische Rechnung verwendet man am besten eine Tabeøøe. i x i f (x i ) 0 2,00 0,69315 ·1 = 0,69315 1 2,25 0,81093 ·4 = 3,24372 2 2,50 0,91629 ·2 = 1,83258 3 2,75 1,01160 ·4 = 4,04640 4 3,00 1,09861 ·1 = 1,09861 S 2 =   3 – 2 ___  6·2  ·10,91446 = 0,90954 2 Das Integraø øässt sich durch partieøøe Integration (vgø. Beispieø H c !) exakt berechnen: :  2   3 ø nx·dx = (x·ønx – x) †  2   3 = (3·øn3 – 3) – (2·øn2 – 2) ≈ 0,90954 Wie Beispiel R zeigt, stimmen die Ergebnisse in den ersten fünf Dezimalen überein. Tatsächlich liefert die SIMPSON’sche Formel oft schon bei relativ wenigen Zwischenpunkten ausgezeichnete Näherungs- werte. Woran erkennt man das? Aber selbst für einfache Funktionen ist das händische Einsetzen in die SIMPSON’sche-Formel (zu) müh- sam, sodass man besser einen Computer oder einen CAS-fähigen Taschenrechner einsetzt. Dabei emp- fiehlt es sich die Formel in der folgenden Form anzuwenden. :  a   b f(x)·dx ≈ S n =   b – a ___  6n  · “ f (x 0 ) + f (x 2n ) + + 2·(f (x 2 ) + f (x 4 ) + f (x 6 ) + … + f (x 2n – 2 )) + + 4·(f (x 1 ) + f (x 3 ) + f (x 5 ) + … + f (x 2n – 1 ))  § Überprüfe die Äquivaøenz dieser mit der obigen Darsteøøung! x 1 lnx 2 3 160197-079 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv