Reichel Mathematik 8, Schulbuch

80 Integralrechnung 2 Das im folgenden Beispiel abgehandelte Integral ist, obgleich es sich nicht exakt berechnen lässt, ein ganz wichtiges in der Theorie wie auch in den Anwendungen. Für Letztere benötigt man vielfach recht genaue Werte, sodass wir vorsichtshalber eine größere Anzahl von Zwischenpunkten verwenden als in Beispiel R: Beispiel S Berechne nach der SIMPSON’schen Formeø durch Einfügen von neun äquidistanten Zwischen­ punkten und vergøeiche mit dem vom TI-92 geøieferten Wert: ​  1 ___  ​ 9 __ 2 π​ ​ ·​ :  0,5 ​  1 ​e​  ‒​  ​x​  2 ​ __ 2  ​ ​·dx Lösung:  Durch Einfügen von 9 Zwischenpunkten zwischen a = 0,5 und b = 1 erhäøt man insgesamt 11 Stützsteøøen x i , i = 0 bis 10 (aøso n = 5 Teiøparabeøn), die wir unter vorøäufiger Vernach­ øässigung des Faktors 1/​ 9 __ 2 π​ in die Formeø einsetzen: i x i x i 2 ​e​  ‒​  ​x​  2 ​ __  2 ​ ​ 0 0,50 0,2500 0,8824969026 ·1  ≈ 0,882496903 1 0,55 0,3025 0,8596327636 ·4  ≈ 3,438531054 2 0,60 0,3600 0,8352702114 ·2  ≈ 1,670540423 3 0,65 0,4225 0,8095716487 ·4  ≈ 3,238286595 4 0,70 0,4900 0,7827045382 ·2  ≈ 1,565409076 5 0,75 0,5625 0,7548396020 ·4  ≈ 3,019358408 6 0,80 0,6400 0,7261490371 ·2  ≈ 1,452298074 7 0,85 0,7225 0,6968047755 ·4  ≈ 2,787219102 8 0,90 0,8100 0,6669768109 ·2  ≈ 1,333953622 9 0,95 0,9025 0,6368316144 ·4  ≈ 2,547326457 10 1,00 1,0000 0,6065306597 ·1  ≈ 0,606530660        Summe = 22,541950374 ​  1 ___  ​ 9 __ 2 π​ ​ ·​ :  0,5 ​  1 ​e​  –​   ​x​  2 ​ __ 2  ​ ​·dx ≈ ​  1 ___  ​ 9 __ 2 π​ ​ ·​  1 – 0,5 ____ 6·5  ​·22,541950374 ≈ 0,149882285                 w Bemerkung: Die Kurve in Beispiel S heißt GAUSS’sche Glockenkurve. Du wirst ihr im Kapitel über die Normalverteilung wieder begegnen. Flächeninhalte werden dann zur Berechnung gewisser Wahr- scheinlichkeiten benötigt. Allerdings wirst du dann die Flächeninhaltsberechnung nicht durch numeri- sche Integration durchführen müssen, sondern (falls kein Computer zur Verfügung steht) Tafeln benüt- zen . Die Werte dieser Tafeln sind wie in Beispiel S berechnet worden. Neben den drei hier behandelten Verfahren bzw. Formeln gibt es noch andere, bessere. Sie funktio­ nieren aber meist nach dem obigen Prinzip: Die zu integrierende Funktion wird durch eine Funktion er- setzt, die sich leichter integrieren lässt und deren Graph hinreichend „nahe“ am Graphen der gegebe- nen Funktion liegt. Zu diesen Ersatzfunktionen – besser Approximationsfunktionen – zählen insbeson- dere die früher behandelten (Buch 7. Klasse Kap. 4) TAYLOR-Polynome . y x 0 0,5 0,1 0,4 1 φ Φ (1) – Φ (0,5) K  4.2 S  178 A  305 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv