Reichel Mathematik 8, Schulbuch

81 2.5 Ausblick: Numerische Integration 2 300 Berechne das nachstehende Integraø 1 mit Hiøfe einer Stammfunktion, 2 mit der Trapezformeø (zwei äquidistante Zwischenpunkte) und 3 mit der SIMPSON’schen Formeø (fünf äquidistante Zwischenpunkte)! a :  0   π /2 sin x·dx b :  0   π /2 cos x·dx c :  1   3 e x ·dx d :  1   10 øn x·dx e :  2   5   x ____  x  2 + 1  ·dx f :  2   6   1 ____  x  2 – 1  ·dx g :  0   5 9 ___ 1 + x·dx h :  0   4 3 9 ___ 2 + x·dx 301 Beweise, dass die foøgende Regeø ein Speziaøfaøø der SIMPSON’schen Formeø ist! Für weøches n ist dies der Faøø? Satz KEPLER’sche Fassregeø: 1 :  a   b f(x)·dx ≈   b – a ___  6  · “  f (a) + 4·f “    a + b ___ 2    § + f (b)  § 302 Berechne das nachstehende Integraø 1 nach der KEPLER’schen Fassregeø, 2 nach der SIMPSON’schen Formeø für den angegebenen Wert von n! 3 Zeichne punktweise den Graphen von f und schraffiere das dem Integraøwert entsprechende Føächenstück! a :  2   3 9 ___ 1 + x  3  ·dx (n = 2) b :  0   2 x· 9 ___ 1 + x  3  ·dx (n = 3) c :  0   1 9 ___ sin x·dx (n = 10) d :  0   1 9 ___  cos x·dx (n = 10) e :  π /2   π   sinx ___ x  ·dx (n = 6) f :  π /2   π   cosx ___ x  ·dx (n = 6) g :  1   2   e  x __  x  ·dx (n = 10) h 1/ 9 __ 2 π · :  0   0,4 e  ‒  x  2 __  2 ·dx (n = 8) 303 Gib ein Computer-Programm an für die a Rechtecksformeø, b Trapezformeø, c SIMPSON’sche Formeø! 304 Beweise, dass die SIMPSON’sche Formeø exakte Ergebnisse øiefert, wenn f ein Poøynom 3. Grades ist! Warum ist dies überraschend? 305 Erøäutere (an einer Skizze) in Anschøuss an Fig. 2.37 auf S. 78, was und auf weøche Art in Fig. 2.38 berechnet wird und warum die beiden Ergebnisse derart stark voneinander abweichen! Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! 1 Johannes KEPLER (1571–1630): Hofastronom und Mathematiker bei Kaiser Rudolf II. Beim Studium der Planetenbahnen beschäftigte er sich eingehend mit der Theorie der Kegelschnitte. Etwa 1615 benutzte er rein anschauliche Methoden, um das Volumen gewisser Drehkörper (zB Fässer) zu berechnen. Dabei stieß er auch auf diese Formel (also mehr als 100 Jahre vor SIMPSON). Fig. 2.38 160197-081 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv