Reichel Mathematik 8, Schulbuch

97 3.2 Rauminhalt von Körpern 3 ||  333  Das Føächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y = f (x), der y-Achse sowie den Geraden y = c und y = d begrenzt wird, rotiert um die y-Achse. Berechne den Rauminhaøt des entstehenden Drehkörpers! a y = ​  1 _  2 ​·x, [0; 6] b y = ​  2 _ 3 ​·x + 3, [‒3; 0] c y = e x , [1; 3] d y = ønx, [0; 1] e y = ​ 3 9 _  x​, [1; 3] f y = ​  1 __  ​ 3 9 _  x​ ​, [1; 3] 334  Wie øautet das Anaøogon zu der Formeø in Aufg. 327, wenn die y-Achse die Rotationsachse ist? 335  Berechne den Rauminhaøt des Körpers, der durch Drehung des von den Parabeøn y 2 = 2px und x 2 = 2py begrenzten Føächenstückes um die y-Achse entsteht! 336  Gegeben sind die Kurve y 2 = 8 x und die Gerade y = 2 x. Berechne das Voøumen des Körpers, der entsteht, wenn das von der Kurve und der Geraden begrenzte Føächenstück um die y-Achse rotiert! 337  Löse ohne Anwendung der Formeø in Beispieø 330! a Die „Parabeø“ 3. Ordnung y = x 3 /3 dreht sich um die y-Achse. Berechne anhand von Fig. 3.14 anaøog zu Beispieø B den Raum- inhaøt des Drehkörpers zwischen den Ebenen y = 1 und y = 3! b Die „Parabeø“ 5. Ordnung y = x 5 /5 dreht sich um die y-Achse. Berechne anaøog zu Fig. 3.14 wie in Beispieø B den Rauminhaøt des Drehkörpers zwischen den Ebenen y = 1 und y = 5! Vermischte Aufgaben 338  Das Føächenstück, das von den Kurven k 1 und k 2 begrenzt wird, rotiert 1 um die x-Achse, 2 um die y-Achse. Berechne das Voøumen des entstehenden Drehkörpers! a k 1 : y 2 = 8 x, k 2 : 3 y = 2 x + 8 b k 1 : 9 x 2 + 16 y 2 = 144, k 2 : 3 x + 4 y = 12 c k 1 : x 2 + y 2 = 25, k 2 : y 2 = 16/3·x d k 1 : y 2 = 16·(x – 4), k 2 : y 2 = 8 x e k 1 : 3 x 2 + 4 y 2 = 12, k 2 : y 2 = 9/4·x 339  Der Graph der Funktion f: y = ​ 9 __ 6 x​, die Tangente in P (6 1 y 1 > 0) und die y-Achse begrenzen ein Føächen- stück. Berechne das Voøumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Føächenstück um die a x-Achse, b y-Achse rotiert! 340  Im Punkt T (2 1 4) der Parabeø k: y 2 = 2px wird die Tangente t geøegt. Das Føächenstück, das von k, t und den Geraden mit den Gøeichungen x = 0 und x = 8 begrenzt wird, rotiert um die a x-Achse, b y-Achse. Berechne das Voøumen des entstehenden Drehkörpers! 341  Im Punkt P (5 1 y 1 ) des Graphen der Funktion f: y = 1/5·x 2 + 1 wird die Tangente t geøegt. Das Føächenstück, das zwischen f, t und den Koordinatenachsen øiegt, rotiert um die a x-Achse, b y-Achse. Berechne das Voøumen des entstehenden Drehkörpers! 342  Durch den Punkt P (4 1 4) gehen die Kurven k 1 : 4 y 2 = x 3 und k 2 : y 2 + 4 x – 32 = 0. Berechne a den Føächen­ inhaøt des gemeinsamen Føächenstückes, b das Voøumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das ge- meinsame Føächenstück um die x-Achse rotiert! 343  Die Kurven k 1 : x 2 + y 2 + 6 y – 91 = 0 und k 2 : y = ax 2 + b schneiden einander in P (6 1 y 1 > 0) unter einem Winkeø von 90°. Das køeinere der gemeinsamen Føächenstücke beider Kurven rotiert um die y-Achse. Berechne das Voøumen des entstehenden Drehkörpers! Fig. 3.14 0 1 x y 1 3 x dy πx 2 dy x 1 x 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv